[Luogu3807] 【模板】卢卡斯定理 [Lucas定理]

最新推荐文章于 2023-12-11 15:05:47 发布

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Estia_/article/details/89256188

本文探讨了Lucas定理在组合数学中求解C(n, m) % p问题的应用，其中p为质数。介绍了如何通过预处理实现O(p)的时间复杂度，并在单次查询中达到O(log p)的效率。此外，还详细讲解了线性求逆元的方法，包括A[i]的计算公式及其数学证明。

Link
Luogu - https://www.luogu.org/problemnew/show/P3807

$n, m$ 为正整数， $p$ 为质数那么
$\binom{n}{m}\%p=\left[\binom{n\%p}{m\%p}\%p\right]*\left[\binom{n/p}{m/p}\%p\right]\%p$
时间复杂度如果算上预处理是 $O (p)$
单次查询 $O(\log_p)$ 左右？

另外一个常用的东西
线性求逆元
A[i] = (p - p / i) * A[p % i];
证明参考
$p = k i + r$
$ki+r\equiv0\pmod{p}$
$kr^{-1}\equiv-i^{-1}\pmod{p}$
$i^{-1}\equiv-\lfloor\frac{p}{i}\rfloor\cdot r^{-1}\pmod{p}$

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+5;
int T, n, m, p, stair[MAXN], rev[MAXN], inv[MAXN];
inline int C(const int& n, const int& m)
{
	if (m > n) return 0;
	return 1ll * stair[n] * rev[m] % p * rev[n-m] % p;
}
int Lucas(const int& n, const int& m, const int& p)
{
	if (!m) return 1;
	return 1ll * Lucas(n/p, m/p, p) * C(n%p, m%p) % p;
}
int main()
{
	scanf("%d", &T);
	while (T--)
	{
		scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);
		inv[0] = 0;
		stair[0] = stair[1] = inv[1] = rev[0] = rev[1] = 1;
		for (register int i = 2; i < p; ++i) stair[i] = 1ll * stair[i-1] * i % p;
		for (register int i = 2; i < p; ++i) inv[i] = 1ll * (p - p / i) * inv[p % i] % p;
		for (register int i = 2; i < p; ++i) rev[i] = 1ll * rev[i-1] * inv[i] % p;
		printf("%d\n", Lucas(n + m, m, p));
	}
    return 0;
}