[Luogu4238] 【模板】多项式求逆 [多项式求逆]

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Luogu - https://www.luogu.org/problemnew/show/P4238

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Description
已知 $F(x)$ 求次数最小的 $G(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=r{2}^k+1)$ 满足 $F(x)\otimes G(x)\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$

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倍增。
设 $f_i(x)\equiv F^{-1}(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{2^i})$ ，显然有 $f_0(x)\equiv C(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}x)$ 。其中 $C$ 为 $F(x)$ 的常数项系数。
假设已知 $f_i(x)$ ，要求 $f_{i+1}(x)$ 。

显然 $f_i(x)\equiv f_{i+1}(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{2^i})$
模数凑上去到 $x^{2^{i+1}}$ 需要怎么操作呢……

正常选手的思路：这肯定要移项啊，然后还出 $0$ 了，又很好随便搞一搞

请跳过下面的废话（

实际上模数翻倍就是有效长度翻倍
而且上面那个式子代表着 $f_{i+1}(x)$ 截掉后面一半就是 $f_i(x)$

容易想到的一种构造方法是全部同乘 $x^{2^i}$ 但是引进的 $x^{2^i}$ 不好处理
这种构造方法的实际含义就是瞎jb把两个多项式一起向后平移
为什么要这么搞？？有猫饼

现在我们有俩多项式
$f_i$    ■■■
$f_{i+1}$ ■■■□□□
emmm 想想能够用这两个鬼东西得到什么不改变长度的等式关系
但是下边那个比上面那个多了一串 这个搞不了
那咋办 干脆搞一个右边是 $0$ 的同余式？但是也不方便
而且要得到的东西里面怎么想也不会有把多项式按位对齐相乘吧。。
诶 但是左边两坨黑黑的东西一模一样 感觉可以消掉 相减一下
消完呢 干什么？ 自己卷自己 什么都没了 左边的式子还在

$f_{i+1}(x)-f_i(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{2^i})$
$[f_{i+1}(x)-f_i(x){]}^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{2^{i+1}})$
展开
${f_{i+1}}^2(x)-2f_i(x)f_{i+1}(x)+{f_i}^2(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{2^i+1})$
要把 $f_{i+1}(x)$ 消剩一次挪到一边 ……然后呢 搞什么鬼 平方根？？
其实不用，你想想这些 $f$ 是 $F$ 的逆（类似情况一定要牢记！！逆跟原式相消）
两边同乘 $F$ 即可。
$f_{i+1}(x)\equiv 2f_i(x)-f_i^2(x)F(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{2^i+1})$
$f_{i+1}(x)\equiv f_i(x)\ast [2-f_i(x)F(x)](\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{2^i+1})$
快乐倍增。

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有一个细节。NTT里面处理Rev数组的时候，为什么是在 $\frac{n}{2}$ 长度下翻转？
原因是：我们是把长度 $2^{i+1}$ 的 $f_i(x)$ 和 $F(x)$ 卷成一个长度为 $2^{i+2}$ 的东西
然后再砍掉后面一半
但是你要怎么砍呢？干脆简单一点，不让多余的部分影响到的话，
直接不管就不会把多余的东西卷起来了……下次用到那一块位置的时候清掉就好……

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观察多项式求逆的过程还可以发现：一个多项式有没有逆元完全取决于其常数项是否有逆元

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#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
using namespace std;
const int MOD = 998244353;
const int MAXN = 3e5+5;
const int ROOT = 3;
int n, a[MAXN], Wn[MAXN], G[MAXN], Rev[MAXN], Lim = 1;
inline int add(int a,int b) {a+=b;return a>=MOD?a-MOD:a;}
inline int sub(int a,int b) {a-=b;return a<0?a+MOD:a;}
inline int mul(int a,int b) {return 1LL*a*b%MOD;}
int qpowm(int a, int b, int p = MOD)
{
	static int ret;
	ret = 1;
	while (b > 0)
	{
		if (b & 1) ret = mul(ret,a);
		a = mul(a,a);
		b >>= 1;
	}
	return ret;
}
#define ksm(a,b) qpowm(a,b)
inline int Adjust(const long long& x, const long long& p)
{
	return (x>=p)?(x-p):x;
}
namespace Poly
{
	int Log, Tem;
	inline void Init(int n)
	{
		n >>= 1;
		Log = 0, Tem = 1;
		while (Tem <= n) Tem <<= 1, ++Log;
		Wn[0] = 1;
	}
	void NTT(int *a, const int& n, const int& Type)
	{
		Init(n);
		for (register int i = 1; i < n; ++i) Rev[i] = (Rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(Log-1));
		for (register int i = 1; i < n; ++i) if (Rev[i] > i) swap(a[Rev[i]], a[i]);
		for (register int Mid = 1, Len, Multi, Y, Cur; Mid < n; Mid <<= 1)
		{
			Len = Mid << 1;
			Multi = qpowm(ROOT, (MOD-1) / Len * Type + MOD - 1, MOD);
			for (register int i = 1; i < Mid; ++i) Wn[i] = mul(Wn[i-1], Multi);
			for (register int Pos = 0; Pos < n; Pos += Len)
			{
				for (register int Sub = 0; Sub < Mid; ++Sub)
				{
					Cur = Pos + Sub;
					Y = mul(a[Cur + Mid], Wn[Sub]);
					a[Cur+Mid] = sub(a[Cur], Y);
					a[Cur] = add(a[Cur], Y);
				}
			}
		}
		if (Type<0)
		{
			register int invn = qpowm(n, MOD-2, MOD);
			for (register int i = 0; i < n; ++i) a[i] =mul(a[i], invn);
		}
	}
	int tem[MAXN];
	void Inv(int *a, int *inv, const int& n)
	{
		inv[0] = qpowm(a[0], MOD-2, MOD);
		for (register int t, i = 2; i <= n; i <<= 1)
		{
			t = i << 1;
			fill(inv + (i >> 1), inv + t, 0);
			fill(tem + i, tem + t, 0);
			copy(a, a + i, tem);
			NTT(inv, t, 1);
			NTT(tem, t, 1);
			for (register int i = 0; i < t; ++i) inv[i] = mul(inv[i], sub(2, (1ll * tem[i] * inv[i]) % MOD));
			NTT(inv, t, -1);
		}
		fill(inv + n, inv + (n<<1), 0);
	}
}
inline void GetInput()
{
	scanf("%d", &n);
	for (register int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
	while (Lim <= n) Lim <<= 1;
}
inline void Output()
{
	for (register int i = 0; i < n; ++i) printf("%d ", G[i]);
}
int main()
{
	GetInput();
	Poly::Inv(a, G, Lim);
	Output();
	return 0;
}