3D游戏与计算机图形学中的数学方法-----------1、向量

最新推荐文章于 2025-06-09 16:37:40 发布

EricXavier

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分类专栏：计算机图形学的数学基础 3D游戏的数学基础文章标签：数学向量

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3D游戏的数学基础

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本文详细介绍了向量的基本性质，包括向量的表示方法、运算规则及其几何意义，并深入探讨了向量空间的概念，以及如何利用Gram-Schmidt正交化算法构建正交基。

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1、向量性质
n维向量可以表示为
$\vec{V} = \langle V_1,V_2,\cdots,V_n \rangle$
数值 $V_i$ 被称为向量 $V⃗\vec{V}$ 的分量。向量 $V⃗\vec{V}$ 也可表示成仅有一列n行的矩阵：
$V⃗=[V1V2⋮Vn]\vec{V} = \begin {bmatrix} V_1 \\V_2 \\ \vdots \\ V_n \\ \end {bmatrix}$
向量通常表示为这两种形式之一，但有时需要表示为一行n列的行向量形式，行向量表示成相应列向量的转置：
$\vec{V}^T = \langle V_1,V_2,\cdots,V_n \rangle$
向量可以乘以一个标量变成一个新的向量，标量a与向量 $V⃗\vec{V}$ 的乘积定义如下：
$,aVn⟩a\vec{V} = \vec{V}a = \langle aV_1,aV_2,\cdots,aV_n \rangle$
当 $a = - 1$ 时，用简化符号 $−V⃗-\vec{V}$ 表示向量 $V⃗\vec{V}$ 的反向量。
向量加减法： $,Pn+Qn⟩\vec{P} + \vec{Q} = \langle P_1 + Q_1,P_2 + Q_2,\cdots,P_n + Q_n \rangle$
给定任意两个标量a和b，三个向量 $P⃗、Q⃗、R⃗\vec{P}、\vec{Q}、\vec{R}$ ，以下性质成立。
(a) $P⃗+Q⃗=Q⃗+P⃗\vec{P} + \vec{Q} = \vec{Q} + \vec{P}$
(b) $(P⃗+Q⃗)+R⃗=P⃗+(Q⃗+R⃗)(\vec{P} + \vec{Q}) + \vec{R} = \vec{P} + (\vec{Q} + \vec{R})$
© $(ab)P⃗=a(bP⃗)(ab)\vec{P} = a(b\vec{P})$
(d) $a(P⃗+Q⃗)=aP⃗+aQ⃗a(\vec{P} + \vec{Q}) = a\vec{P} + a\vec{Q}$
(e) $b)\vec{P} = a\vec{P} + b\vec{P}$
n维向量 $V⃗\vec{V}$ 的绝对值是一个标量，用 $\vec{V} ||$ 表示，计算公式如下：
$\vec{V} || = \sqrt {\sum_{i=1}^{n}V_i^2}$
给定任意标量a和任意两个向量 $P⃗\vec{P}$ 和 $Q⃗\vec{Q}$ ，以下性质成立。
(a) $\vec{P} || \geq 0$
(b) 当且仅当 $,0⟩，∣∣P⃗∣∣=0\vec{P} = \langle 0,0,\cdots,0 \rangle，||\vec{P}|| = 0$
(d) $∣∣P⃗+Q⃗∣∣≤∣∣P⃗∣∣+∣∣Q⃗∣∣||\vec{P} + \vec{Q}|| \leq ||\vec{P}|| + ||\vec{Q}||$

2、内积和外积
两个向量的内积也被称为向量的点积或者标量积，内积可用来计算两个向量的方向差。
两个n维向量 $P⃗\vec{P}$ 和 $Q⃗\vec{Q}$ 的内积可以表示为 $P⃗⋅Q⃗\vec{P}\cdot\vec{Q}$ ，是一个标量。计算公式如下：
$P⃗⋅Q⃗=∑i=1nPiQi\vec{P}\cdot\vec{Q} = \sum_{i=1}^{n} P_iQ_i$
给定任意两个n维向量 $P⃗\vec{P}$ 和 $Q⃗\vec{Q}$ ，内积 $P⃗⋅Q⃗\vec{P}\cdot\vec{Q}$ 满足以下等式。
$∣∣Q⃗∣∣cosα\vec{P}\cdot\vec{Q} = ||\vec{P}||\space||\vec{Q}||cos\alpha$
其中 $α\alpha$ 是坐标原点分别与向量 $P⃗\vec{P}$ 和 $Q⃗\vec{Q}$ 对应的点之间连线的夹角。
给定任意标量a和任意三个向量 $P⃗\vec{P}$ 、 $Q⃗\vec{Q}$ 和 $R⃗\vec{R}$ ，向量内积具有以下性质。
(a) $P⃗⋅Q⃗=Q⃗⋅P⃗\vec{P}\cdot\vec{Q} = \vec{Q}\cdot\vec{P}$
(b) $(aP⃗)⋅Q⃗=a(P⃗⋅Q⃗)(a\vec{P})\cdot\vec{Q} = a(\vec{P}\cdot\vec{Q})$
© $P⃗⋅(Q⃗+R⃗)=P⃗⋅Q⃗+P⃗⋅R⃗\vec{P}\cdot(\vec{Q} + \vec{R}) = \vec{P}\cdot\vec{Q} + \vec{P}\cdot\vec{R}$
(d) $P⃗⋅P⃗=∣∣P⃗∣∣2\vec{P}\cdot\vec{P} = ||\vec{P}||^2$
(e) $∣∣Q⃗∣∣|\vec{P}\cdot\vec{Q}|\leq||\vec{P}||\space||\vec{Q}||$
向量 $P⃗\vec{P}$ 在向量 $Q⃗\vec{Q}$ 上的投影
$projQP⃗=P⃗⋅Q⃗∣∣Q⃗∣∣2Q⃗proj_Q\vec{P}=\frac{\vec{P}\cdot\vec{Q}}{||\vec{Q}||^2}\vec{Q}$
向量 $P⃗\vec{P}$ 相对于向量 $Q⃗\vec{Q}$ 的垂直分量可表示为
$perpQP⃗=P⃗−P⃗⋅Q⃗∣∣Q⃗∣∣2Q⃗perp_Q\vec{P}=\vec{P}-\frac{\vec{P}\cdot\vec{Q}}{||\vec{Q}||^2}\vec{Q}$
两个三维向量的外积也称为向量积，两个向量的外积可以产生一个与这两个向量都垂直的新向量。
给定两个三维向量 $P⃗\vec{P}$ 和 $Q⃗\vec{Q}$ ，它们的外积可写为 $P⃗×Q⃗\vec{P}\times\vec{Q}$ ，其结果也为一个向量：
$P⃗×Q⃗=⟨PyQz−PzQy,PzQx−PxQz,PxQy−PyQx⟩\vec{P}\times\vec{Q}=\langle P_yQ_z-P_zQ_y,P_zQ_x-P_xQ_z,P_xQ_y-P_yQ_x\rangle$
令两个向量 $P⃗\vec{P}$ 和 $Q⃗\vec{Q}$ 为三维向量，则 $(P⃗×Q⃗)⋅P⃗=0(\vec{P}\times\vec{Q})\cdot\vec{P}=0$ ，而且 $(P⃗×Q⃗)⋅Q⃗=0(\vec{P}\times\vec{Q})\cdot\vec{Q}=0$ 。
给定两个三维向量 $P⃗\vec{P}$ 和 $Q⃗\vec{Q}$ ，外积 $P⃗×Q⃗\vec{P}\times\vec{Q}$ 满足一下方程：
$∣∣Q⃗∣∣sinα||\vec{P}\times\vec{Q}||=||\vec{P}||\space||\vec{Q}||sin\alpha$
以上公式计算出的两个向量的外积的大小等于平行四边形的面积，该平行四边形的两个邻边分别是两个向量 $P⃗\vec{P}$ 和向量 $Q⃗\vec{Q}$ ，继而可得出，有三个顶点 $V1⃗\vec{V_1}$ 、 $V2⃗\vec{V_2}$ 和 $V3⃗\vec{V_3}$ 组成的任意三角形的面积A可由以下公式计算：
$\frac{1}{2}||(\vec{V_2}-\vec{V_1})\times(\vec{V_3}-\vec{V_1})||$
规定向量外积得到的新向量遵循右手定律，右手手指的方向与向量 $P⃗\vec{P}$ 的方向对齐，手掌朝向向量 $Q⃗\vec{Q}$ 的方向，则拇指所指的方向就是向量 $P⃗\vec{P}$ 和 $Q⃗\vec{Q}$ 的外积 $P⃗×Q⃗\vec{P}\times\vec{Q}$ 的方向。
给定任意两个标量a和b以及任意3个三维向量 $P⃗\vec{P}$ 、 $Q⃗\vec{Q}$ 和 $R⃗\vec{R}$ ，向量外积具有以下性质。
(a) $Q⃗×P⃗=−(P⃗×Q⃗)\vec{Q}\times\vec{P} = -(\vec{P}\times\vec{Q})$
(b) $(aP⃗)×Q⃗=a(P⃗×Q⃗)(a\vec{P})\times\vec{Q} = a(\vec{P}\times\vec{Q})$
© $P⃗×(Q⃗+R⃗)=P⃗×Q⃗+P⃗×R⃗\vec{P}\times(\vec{Q} + \vec{R}) = \vec{P}\times\vec{Q} + \vec{P}\times\vec{R}$
(d) $P⃗×P⃗=0⃗=⟨0,0,0⟩\vec{P}\times\vec{P} = \vec{0} = \langle0,0,0\rangle$
(e) $(P⃗×Q⃗)⋅R⃗=(R⃗×P⃗)⋅Q⃗=(Q⃗×R⃗)⋅P⃗(\vec{P}\times\vec{Q})\cdot\vec{R}=(\vec{R}\times\vec{P})\cdot\vec{Q}=(\vec{Q}\times\vec{R})\cdot\vec{P}$
(f) $P⃗×(Q⃗×P⃗)=P⃗×Q⃗×P⃗=P⃗2Q⃗−(P⃗⋅Q⃗)P⃗\vec{P}\times(\vec{Q}\times\vec{P})=\vec{P}\times\vec{Q}\times\vec{P}=\vec{P}^2\vec{Q}-(\vec{P}\cdot\vec{Q})\vec{P}$

3、向量空间
向量空间是一个集合V，该集合的元素都是向量，定义了加法和标量乘法，则以下性质成立。
（a）集合V对加法运算封闭，即集合V中的任意向量 $P⃗\vec{P}$ 和 $Q⃗\vec{Q}$ ，它们的和 $P⃗+Q⃗\vec{P}+\vec{Q}$ 也是集合V的向量。
（b）集合V对标量乘法运算封闭，即对于任意实数a和集合V中的任意向量 $P⃗\vec{P}$ ，它们的积 $aP⃗a\vec{P}$ 也是集合V的向量。
（c）集合V中存在 $0⃗\vec{0}$ 向量，对于集合V中的任意向量 $P⃗\vec{P}$ ， $P⃗+0⃗=0⃗+P⃗=P⃗\vec{P}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{P}=\vec{P}$ 成立。
（d）对于集合V中的任意向量 $P⃗\vec{P}$ ，集合V中存在向量 $Q⃗\vec{Q}$ ，使 $P⃗+Q⃗=0⃗\vec{P}+\vec{Q}=\vec{0}$ 成立。
（e）集合V中的向量满足结合律，即对于集合V中的任意向量 $P⃗\vec{P}$ 、 $Q⃗\vec{Q}$ 和 $R⃗\vec{R}$ ， $(P⃗+Q⃗)+R⃗=P⃗+(Q⃗+R⃗)(\vec{P}+\vec{Q})+\vec{R}=\vec{P}+(\vec{Q}+\vec{R})$ 成立。
（f）标量乘法满足结合律，即对于任意实数a和b，以及集合V中的任意向量 $P⃗\vec{P}$ ， $(ab)P⃗=a(bP⃗)(ab)\vec{P}=a(b\vec{P})$ 成立。
（g）标量与向量和的乘法满足分配律，即对于任意实数a，以及集合V中的任意向量 $P⃗\vec{P}$ 和 $Q⃗\vec{Q}$ ， $a(P⃗+Q⃗)=aP⃗+aQ⃗a(\vec{P}+\vec{Q})=a\vec{P}+a\vec{Q}$ 成立。
（h）标量和与向量的乘法满足分配律，即对于任意实数a和b，以及集合V中的任意向量 $P⃗\vec{P}$ ， $a(P⃗+Q⃗)=aP⃗+aQ⃗a(\vec{P}+\vec{Q})=a\vec{P}+a\vec{Q}$ 成立。
对于含有那个向量的集合 $,en⃗}\lbrace \vec{e_1},\vec{e_2},\cdots,\vec{e_n} \rbrace$ ，如果不存在不全为0的数 $,ana_1,a_2,\cdots,a_n$ 使下式成立，则向量集合线性无关。
$a1e1⃗+a2e2⃗+⋯+anen⃗=0⃗a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+\cdots+a_n\vec{e_n}=\vec{0}$
反之，则向量集合线性相关。
向量空间V的基 $β\beta$ 是n个线性无关向量的集合， $,en⃗}\beta=\lbrace \vec{e_1},\vec{e_2},\cdots,\vec{e_n} \rbrace$ ，对于向量空间V中的任意向量 $P⃗\vec{P}$ ，存在一组实数 $,ana_1,a_2,\cdots,a_n$ ，使下式成立。
$P⃗=a1e1⃗+a2e2⃗+⋯+anen⃗\vec{P}=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+\cdots+a_n\vec{e_n}$
一个向量空间有无穷多个基。
在向量空间的基 $β\beta$ 中，如果任意两个向量 $ei⃗\vec{e_i}$ 和 $ej⃗\vec{e_j}$ ， $i≠ji\neq j$ ，且 $ei⃗⋅ej⃗=0\vec{e_i}\cdot\vec{e_j}=0$ ，则基 $β\beta$ 称为向量空间的正交基。
给定任意两个向量 $e1⃗\vec{e_1}$ 和 $e2⃗\vec{e_2}$ ，如果 $e1⃗⋅e2⃗=0\vec{e_1}\cdot\vec{e_2}=0$ ，则 $e1⃗\vec{e_1}$ 和 $e2⃗\vec{e_2}$ 两个向量线性无关。
在向量空间V中，找到n个正交向量，那么这些正交向量的集合组成向量空间的基。
对于向量空间的正交基，如果其中每个向量的长度均为1，则称为规范正交基。为了方便表示，引入克罗内克符号函数
$δij≡{1,如果i=j0,如果i≠j\delta_{ij}\equiv\begin{cases} 1, & \text {如果$i=j$} \\ 0, & \text {如果$i\neq j$} \end{cases}$
在向量空间的基 $,en⃗}\beta=\lbrace \vec{e_1},\vec{e_2},\cdots,\vec{e_n} \rbrace$ 中，如果任意两个向量 $ei⃗\vec{e_i}$ 和 $ej⃗\vec{e_j}$ ， $ei⃗⋅ej⃗=δij\vec{e_i}\cdot\vec{e_j}=\delta_{ij}$ ，则基 $β\beta$ 称为向量空间的规范正交基。
下面使在向量空间中，将n个线性无关向量组成的集合变换成正交基的方法。
Gram-Schmidt正交化算法。给定n个线性无关向量组成的集合 $β\beta$ ， $,en⃗}\beta=\lbrace \vec{e_1},\vec{e_2},\cdots,\vec{e_n} \rbrace$ ，该算法可计算出向量集合 $,en′⃗}\beta^\prime=\lbrace \vec{e_1^\prime},\vec{e_2^\prime},\cdots,\vec{e_n^\prime} \rbrace$ ，当 $i≠ji\neq j$ 时， $ei′⃗⋅ej′⃗=0\vec{e_i^\prime}\cdot\vec{e_j^\prime}=0$ 。
(a) 令 $e1′⃗=e1⃗\vec{e_1^\prime}=\vec{e_1}$ ；
(b) $i = 2$ ；
© 从向量 $ei⃗\vec{e_i}$ 中减去 $ei⃗\vec{e_i}$ 在向量 $,ei−1′⃗\vec{e_1^\prime},\vec{e_2^\prime},\cdots,\vec{e_{i-1}^\prime}$ 上的投影，结果保存到 $ei′⃗\vec{e_i^\prime}$ 中，即
$ei′⃗=ei⃗−∑k=1i−1ei⃗⋅ek′⃗ek′⃗2ek′⃗\vec{e_i^\prime}=\vec{e_i}-\sum_{k=1}^{i-1}{\frac{\vec{e_i}\cdot\vec{e_k^\prime}}{\vec{e_k^\prime}^2}\vec{e_k^\prime}}$
(d) 如果 $i < n$ ， $i$ 加1，转到步骤©。