【学术篇】SDOI2008 仪仗队

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#欧拉函数 #数论 #线性筛

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本文介绍了一道关于欧拉函数的算法题，通过分析题目得出只需计算∑ni=2φ(i−1)即可，利用欧拉函数的性质进行线筛优化，并给出了具体的实现代码。

Part1:传送门&吐槽

水题...
然而由于线筛里面的 $j$ 打成了 $i$ 然后就不能1A了OvO

Part2:题目分析

这个正方形是对称的…
而且很显然对角线上只有一个点会被看到…
所以我们只需要考虑对角线下面的一半(标红的)..
(其实你想考虑上面一半也无所谓→_→
这里写图片描述
显然,对于点 $(i,j)$ 如果 $gcd(i,j)\neq1$ ,那么一定会被 $(\frac{i}{gcd(i,j)},\frac{j}{gcd(i,j)})$ 挡住…
所以我们要找第 $i$ 列中, $gcd(i,j)=1$ 的 $j$ 的个数..
也就是 $\sum_{i=2}^{n}\sum_{j=1}^{i-1}gcd(i,j)=1$
而很明显这就是欧拉函数的定义…
也就是说这个题让求的不过是 $\sum_{i=2}^{n}\varphi(i-1)$
而欧拉函数是个积性函数, 可以被线筛出来..
线筛的原理啊证明啊什么的baidu一下就有很多啦(其实是因为我不会啊→_→
所以也就做完了..

Part3:代码

由于是水题我都懒得压行了(喜闻乐见)~~(水题你1A也行啊~~

#include <cstdio>
const int N=40404;
int prime[N],tot,phi[N];
bool notp[N];
void euler(int n){
    phi[1]=1; notp[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!notp[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;++j){ //就这个地方我写成++i了
            notp[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}
int main(){
    int n,ans=1; scanf("%d",&n); euler(n);
    for(int i=1;i<n;++i) ans+=phi[i]*2;
    printf("%d",ans);
}