描述： 在一个圆形操场的四周摆放着n 堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。 规定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。 试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。 |
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开始以为通过贪心算法可能很快解决问题，可是是行不通的。
首先我们可以把这么堆石子看成一列
我们假如5堆的石子，其中石子数分别为7，6，5，7，100
•按照贪心法，合并的过程如下：
每次合并得分
第一次合并 7 6 5 7 100 =11
第二次合并 7 11 7 100=18
第三次合并 18 7 100 =25
第四次合并 25 100 =125
总得分＝11＋18＋25+125＝179
每次合并得分
第一次合并 7 6 5 7 100 ->13
第二次合并 13 5 7 100->12
第三次合并 13 12 100 ->25
第四次合并 25 100 ->125
总得分＝13＋12＋25+125＝175
显然利用贪心来做是错误的，贪心算法在子过程中得出的解只是局部最优,而不能保证使得全局的值最优。
因此我们需要通过动态规划算法来求出最优解。
在此我们假设有n堆石子，一字排开，合并相邻两堆的石子，每合并两堆石子得到一个分数，最终合并后总分数最少的。
我们设m(i,j)定义为第i堆石子到第j堆石子合并后的最少总分数。a(i)为第i堆石子得石子数量。
当合并的石子堆为1堆时，很明显m(i,i)的分数为0;
当合并的石子堆为2堆时，m(i,i+1)的分数为a(i)+a(i+1);
当合并的石子堆为3堆时，m(i,i+2)的分数为MIN((m(i,i)+m(i+1,i+2)+sum(i,i+2)),(m(i,i+1)+m(i+2,i+2)+sum(i,i+2));
当合并的石子堆为4堆时......
代码实现如下：
1 #include < stdio.h > 2 #define N 100 3 /* 4 *求合并过程中 5 *最少合并堆数目 6 * */ 7 int MatrixChain_min( int p[N], int n) 8 { 9 // 定义二维数组m[i][j]来记录i到j的合并过成中最少石子数目 10 // 此处赋值为-1 11 12 int m[N][N]; 13 for ( int x = 1 ;x <= n;x ++ ) 14 for ( int z = 1 ;z <= n;z ++ ) 15 { 16 m[x][z] =- 1 ; 17 } 18 19 int min = 0 ; 20 21 // 当一个单独合并时，m[i][i]设为0，表示没有石子 22 for ( int g = 1 ;g <= n;g ++ ) m[g][g] = 0 ; 23 24 // 当相邻的两堆石子合并时，此时的m很容易可以看出是两者之和 25 for ( int i = 1 ;i <= n - 1 ;i ++ ) 26 { 27 int j = i + 1 ; 28 m[i][j] = p[i] + p[j]; 29 } 30 31 // 当相邻的3堆以及到最后的n堆时，执行以下循环 32 for ( int r = 3 ; r <= n;r ++ ) 33 for ( int i = 1 ;i <= n - r + 1 ;i ++ ) 34 { 35 int j = i + r - 1 ; // j总是距离i r-1的距离 36 int sum = 0 ; 37 // 当i到j堆石子合并时最后里面的石子数求和得sum 38 for ( int b = i;b <= j;b ++ ) 39 sum += p[b]; 40 41 // 此时m[i][j]为i~j堆石子间以m[i][i]+m[i+1][j]+sum结果，这是其中一种可能，不一定是最优 42 // 要与下面的情况相比较，唉，太详细了 43 44 m[i][j] = m[i + 1 ][j] + sum; 45 46 // 除上面一种组合情况外的其他组合情况 47 for ( int k = i + 1 ;k < j;k ++ ) 48 { 49 int t = m[i][k] + m[k + 1 ][j] + sum; 50 if (t < m[i][j]) 51 m[i][j] = t; 52 53 } 54 } 55 // 最终得到最优解 56 min = m[ 1 ][n]; 57 return min; 58 59 60 } 61 62 /* 63 *求合并过程中 64 *最多合并堆数目 65 * */ 66 67 int MatrixChain_max( int p[N], int n) 68 { 69 int m[N][N]; 70 for ( int x = 1 ;x <= n;x ++ ) 71 for ( int z = 1 ;z <= n;z ++ ) 72 { 73 m[x][z] =- 1 ; 74 } 75 76 77 int max = 0 ; 78 // 一个独自组合时 79 for ( int g = 1 ;g <= n;g ++ ) m[g][g] = 0 ; 80 // 两个两两组合时 81 for ( int i = 1 ;i <= n - 1 ;i ++ ) 82 { 83 int j = i + 1 ; 84 m[i][j] = p[i] + p[j]; 85 } 86 87 for ( int r = 3 ; r <= n;r ++ ) 88 for ( int i = 1 ;i <= n - r + 1 ;i ++ ) 89 { 90 int j = i + r - 1 ; 91 int sum = 0 ; 92 for ( int b = i;b <= j;b ++ ) 93 sum += p[b]; 94 m[i][j] = m[i + 1 ][j] + sum; 95 96 for ( int k = i + 1 ;k < j;k ++ ) 97 { 98 int t = m[i][k] + m[k + 1 ][j] + sum; 99 if (t > m[i][j]) 100 m[i][j] = t; 101 102 } 103 } 104 105 max = m[ 1 ][n]; 106 return max; 107 108 109 } 110 int main() 111 { 112 int stone[N]; 113 int min = 0 ; 114 int max = 0 ; 115 int n; 116 scanf( " %d " , & n); 117 for ( int i = 1 ;i <= n;i ++ ) 118 scanf( " %d " , & stone[i]); 119 120 min = MatrixChain_min(stone,n); 121 max = MatrixChain_max(stone,n); 122 123 // 因为题目要求圆的原因，要把所有情况都要考虑到，总共有n种情况。 124 for ( int j = 1 ;j <= n - 1 ;j ++ ) 125 { 126 int min_cache = 0 ; 127 int max_cache = 0 ; 128 int cache = stone[ 1 ]; 129 for ( int k = 2 ;k <= n;k ++ ) 130 { 131 stone[k - 1 ] = stone[k]; 132 } 133 stone[n] = cache; 134 min_cache = MatrixChain_min(stone,n); 135 max_cache = MatrixChain_max(stone,n); 136 if (min_cache < min) 137 min = min_cache; 138 if (max_cache > max) 139 max = max_cache; 140 } 141 142 printf( " %d\n " ,min); 143 printf( " %d\n " ,max); 144 145 return 1 ; 146 147 }
1.链式归并
问题描述
设有N堆沙子排成一排，其编号为1,2,3,…,N(N<=100)。每堆沙子有一定的数量。现要将N堆沙子并成为一堆。归并的过程只能每次将相邻的两堆沙子堆成一堆，这样经过N-1次归并后成为一堆。找出一种合理的归并方法，使总的代价最小。
【输入格式】
输入由若干行组成，第一行有一个整数，n（1≤n≤100）；表示沙子堆数。第2至m+1行是每堆沙子的数量。
【输出格式】
一个整数，归并的最小代价。
【输入样例】
输入文件名：shizi.in
7
13
7
8
16
21
4
18
【输出样例】
输出文件名：shizi.out
239
令f[i,j]表示归并第i个数到第j数的最小代价,sum[i,j]表示第i个数到第j个数的和，这个可以事先计算出来。sum[i,j]可以在O(1)的时间内算出.
容易的到以下的动态转移方程：
阶段：以归并石子的长度为阶段，一共有n-1个阶段。
状态：每个阶段有多少堆石子要归并，当归并长度为2时，有n-1个状态；
当归并长度为3时，有n-2个状态；
当归并长度为n时，有1个状态。
决策：当归并长度为2时，有1个决策；当归并长度为3时，有2个决策；
当归并长度为n时，有n-1个决策。
- #include <iostream>
- using namespace std;
- #define M 101
- #define INF 1000000000
- int n,f[M][M],sum[M][M],stone[M];
- int main()
- {
- int i,j,k,t;
- cin>>n;
- for(i=1;i<=n;i++)
- scanf("%d",&stone[i]);
- for(i=1;i<=n;i++)
- {
- f[i][i]=0;
- sum[i][i]=stone[i];
- for(j=i+1;j<=n;j++)
- sum[i][j]=sum[i][j-1]+stone[j];
- }
- for(int len=2;len<=n;len++)//归并的石子长度
- {
- for(i=1;i<=n-len+1;i++)//i为起点，j为终点
- {
- j=i+len-1;
- f[i][j]=INF;
- for(k=i;k<=j-1;k++)
- {
- if(f[i][j]>f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j])
- f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j];
- }
- }
- }
- printf("%d/n",f[1][n]);
- return 0;
- }
[算法优化]
见 http://it.dgzx.net/drkt/oszt/zltk/yxlw/dongtai3.htm
优化后，无非加了一个s[i,j] 记录i...j之间f[i,j]为最优状态的分割点
- #include <iostream>
- using namespace std;
- #define M 101
- #define INF 1000000000
- int n,f[M][M],sum[M][M],stone[M],s[M][M];
- int main()
- {
- int i,j,k,t;
- cin>>n;
- for(i=1;i<=n;i++)
- scanf("%d",&stone[i]);
- for(i=1;i<=n;i++)
- {
- f[i][i]=0;
- s[i][i]=i;
- sum[i][i]=stone[i];
- for(j=i+1;j<=n;j++)
- sum[i][j]=sum[i][j-1]+stone[j];
- }
- for(int len=2;len<=n;len++)//归并的石子长度
- {
- for(i=1;i<=n-len+1;i++)//i为起点，j为终点
- {
- j=i+len-1;
- f[i][j]=INF;
- for(k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++)
- {
- if(f[i][j]>f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j])
- {
- f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j];
- s[i][j]=k;
- }
- }
- }
- }
- printf("%d/n",f[1][n]);
- return 0;
- }
2.
环型石子合并
问题描述
在一个圆形操场的四周摆放着n堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。
试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。
输入文件
输入文件stone.in包含两行，第1行是正整数n(1≤n≤100)，表示有n堆石子。第2行有n个整数，分别表示每堆石子的个数。
输出文件
输出文件stone.out 包含两行，第1行中的数是最小得分；第2行中的数是最大得分。
输入样例
4
4 4 5 9
输出样例
43
54
- #include<cstdio>
- using namespace std;
- typedef int Arr[210][210];
- int N;
- Arr M1,M2,S1,S2;
- int main()
- {
- scanf("%d",&N);
- for(int i=1;i<=N;++i)
- {
- int a; scanf("%d",&a);
- M1[i][i]=M2[i][i]=M1[i+N][i+N]=M2[i+N][i+N]=a;
- S1[i][i]=S2[i][i]=S1[i+N][i+N]=S2[i+N][i+N]=0;
- }
- for(int k=2;k<=N;++k)
- {
- for(int i=1;i<=2*N-k+1;++i)
- {
- int j=i+k-1;
- M1[i][j]=S1[i][j]=0xFFFFFFF;
- M2[i][j]=S2[i][j]=0;
- for(int t=j-1;t>=i;--t)
- {
- if(M1[i][j]>M1[i][t]+M1[t+1][j])
- {
- M1[i][j]=M1[i][t]+M1[t+1][j];
- if(S1[i][j]>M1[i][j]+S1[i][t]+S1[t+1][j])
- S1[i][j]=M1[i][j]+S1[i][t]+S1[t+1][j];
- }
- else if(M1[i][j]==M1[i][t]+M1[t+1][j])
- {
- if(S1[i][j]>M1[i][j]+S1[i][t]+S1[t+1][j])
- S1[i][j]=M1[i][j]+S1[i][t]+S1[t+1][j];
- }
- if(M2[i][j]<=M2[i][t]+M2[t+1][j])
- {
- M2[i][j]=M2[i][t]+M2[t+1][j];
- if(S2[i][j]<M2[i][j]+S2[i][t]+S2[t+1][j])
- S2[i][j]=M2[i][j]+S2[i][t]+S2[t+1][j];
- }
- else if(M2[i][j]==M2[i][t]+M2[t+1][j])
- {
- if(S2[i][j]<M2[i][j]+S2[i][t]+S2[t+1][j])
- S2[i][j]=M2[i][j]+S2[i][t]+S2[t+1][j];
- }
- }
- }
- }
- int ans=0xFFFFFFF;
- for(int i=1;i<=N;++i)
- if(S1[i][i+N-1]<ans)
- ans=S1[i][i+N-1];
- printf("%d/n",ans);
- ans=0;
- for(int i=1;i<=N;++i)
- if(S2[i][i+N-1]>ans)
- ans=S2[i][i+N-1];
- printf("%d/n",ans);
- return 0;
- }
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