【DP】【NOI1995】石子合并

最新推荐文章于 2025-06-26 11:09:46 发布

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博客围绕圆形操场四周N堆石子合并问题展开。需设计算法计算合并成一堆的最小和最大得分，先将环形转换为线形，把链扩大两倍模拟环上操作，状态设计为两维，通过状态转移和前缀和计算区间得分，最后给出输入输出要求。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

在一个圆形操场的四周摆放N堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。

试设计出1个算法,计算出将N堆石子合并成1堆的最小得分和最大得分.

输入

数据的第1行试正整数N,1≤N≤100,表示有N堆石子.第2行有N个数,分别表示每堆石子的个数.

输出

输出共2行,第1行为最小得分,第2行为最大得分.

输入样例

4
4 5 9 4

输出样例

43
54

分析

首先，我们要想办法把环形转换成线形。

我们选取一个点把环断开，再把这条链扩大到原来的两倍，这样就可以模拟在环上的操作

状态设计成两维，dp[ i ][ j ]表示从合并区间[i, j]的最小得分；dp1[ i ][ j ]表示最大得分

状态转移也比较简单

合并一个大区间可以转化成合并若干个子区间的问题

dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]);
dp1[i][j] = max(dp1[i][j], dp1[i][k] + dp1[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]);

这里使用一个前缀和方便计算区间得分

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a[1010];
int sum[1010];
int dp[1010][1010];
int dp1[1010][1010];
int ans = 0x3f3f3f;
int ans1;

inline int read() {
    int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
    return x * f;
}

int main() {
    n = read();
    for (int i = 1; i <= n; i++) a[i + n] = a[i] = read();
    for (int i = 1; i <= n * 2; i++) sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
    for (int len = 2; len <= n; len++) {
        for (int i = 1; i <= n * 2 - len + 1; i++) {
            int j = i + len - 1;
            dp[i][j] = 0x3f3f3f3f;
            for (int k = i; k < j; k++) {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]);
                dp1[i][j] = max(dp1[i][j], dp1[i][k] + dp1[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]);
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans = min(ans, dp[i][i + n - 1]);
        ans1 = max(ans1, dp1[i][i + n - 1]);
    }
    printf("%d\n%d", ans, ans1);
    return 0;
}