Leetcode70--爬楼梯

最新推荐文章于 2024-03-23 08:30:00 发布

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#python #leetcode #算法 #爬楼梯

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本文围绕Leetcode70爬楼梯问题展开，该问题是给定n阶楼梯，每次可爬1或2个台阶，求到达楼顶的方法数。作者作为算法小白，介绍了递归和动态规划两种解题思路，还分享了自己首次解题时用排列组合的方法，使用Python语言实现。

Leetcode70–爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

编程语言：python

作者：黑暗主宰

邮箱：shengzhanhe@gmail.com

Leetcode70–爬楼梯

题目描述

原题链接：

https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/solution/pa-lou-ti-by-leetcode/ (中文)

https://leetcode.com/problems/climbing-stairs/solution/pa-lou-ti-by-leetcode/ (英文)

题目描述：

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：

**注意：**给定 n 是一个正整数。

示例 1: 输入： 2 输出： 2 解释：有两种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 2. 2 阶

示例 2: 输入：3 输出：3 解释：有三种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 2. 2 阶 3. 2 阶 + 1 阶

解题思路

博主是一个算法小白，也是通过刷Leetcode来提升自己的编程思维。

对于爬楼梯这道理，第一想到的是排列组合，然后通过一波分析，提交也通过了。然后又参考别人的想法，恍然大悟，原来还可以这样解题。下面就先写递归和动态规划的方法，然后在放出我当时第一次做这个题的code。下文中的图片链接来自于LeetCode官方题解¹

方法1：递归

为什么用递归可以做呢，首先逆向思维的分析这道题，如果总共有5个台阶，我们已知登上第4个台阶有 $m$ 种走法，登上第3个台阶有 $n$ 种走法，那么登上第5个台阶是不是就有 $m + n$ 种走法；有小伙伴说，第4个台阶到第5个台阶是有 $m$ 种，第3个台阶到第5个台阶不是有 $m + 1$ 种吗？（那是因为，已知第3个台阶和第4个台阶的走法，从第3个台阶可以走1 阶 + 1 阶，也可以走2 阶,但是走1 阶 + 1 阶这种方法属于第4台阶的方法，所以总体来说是 $m + n$ ）。同理，如下图所示，我们只要知道第1阶和第2阶，就能知道第3阶，以此类推。其实说白了，本质上就是一个斐波那契数列，代码如下

在这里插入图片描述

def climbStairs(n):
    if n == 1:
        return 1
    if n == 2:
        return 2
    return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2)

这种方法效率很低，从上图可以看出，随着递归的加深，需要更多的空间去存储数据，并且时间复杂度指数增长。

方法2：动态规划

通过上文的分析可以总结公式
$dp\left[ i \right] = dp\left[ {i - 1} \right] + dp\left[ {i - 2} \right]$
更好的理解，如下图所示在这里插入图片描述

对应代码如下：

def climbStairs(n):
    res = [0, 1]
    for i in range(n):
        res[0], res[1]= res[1], res[0] + res[1]
        
	return res[-1]

然后，下面的代码是第一次做这个题时的解法，大佬勿喷

经过一波分析（😜），可以计算2和1的组合计算总共有多少种方法，先计算最多可以有多少个2，然后余下的就是1的数量，然后每次减少一个2，就会增加两个1，组合公式为
$c\left( {m,n} \right) = \frac{{m!}}{{n! \times \left[ {m - n} \right]!}}$
然后把每次组合累加，就是总共多少种方法啦。

def climbStairs(self, n):
 	if n == 1:
		return 1
	two_nums = n//2
	one_nums = n%2
	cnt = 0
        
	nums = two_nums + one_nums
	while two_nums:
		denominator = 1
		tmp1 = two_nums
		while tmp1:
			denominator *= tmp1
			tmp1 -= 1
		numerator  = 1
		tmp2= two_nums
		tmp3 = nums
		while tmp2:
			numerator *= tmp3
			tmp2 -= 1
			tmp3 -= 1
		cnt += numerator//denominator
		two_nums -= 1
		nums += 1
	cnt += 1
	return cnt