曲线曲率公式推导

一、简介

        曲率由莱布尼茨和惠更斯于17世纪提出，是数学中描述曲线弯曲程度的核心概念，反映了曲线在某一点的“弯曲特性”。在几何学中，曲率是一个密切相关的概念群，直观上用于衡量曲线偏离直线或曲面偏离平面的程度。通过曲率，我们能够量化并分析曲线或曲面的形状变化，进而为更复杂的几何结构提供理解框架。
        在曲线的情形中，曲率通常表示为曲线在某一点的变化速率，它与该点附近的切线的变化关系密切。对于圆形曲线，曲率等于其半径的倒数；半径越小，曲率越大。对于更高维的曲面或流形，曲率则更为复杂，涉及不同方向的变化，通常以最大曲率、最小曲率或平均曲率来表达。
        曲率不仅在纯粹数学中具有重要意义，它在物理学、工程学、计算机图形学等领域也有广泛应用。在物理学中，曲率有助于描述空间的弯曲性质，而在计算机图形学中，曲率被用来优化图形渲染和建模过程。

二、推导过程

        设$y=f(t)(a\le t\le b)$设备故障概率曲线，M为曲线上任意一点，定义弧长函数为 $s(t)=|\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}|$ ，$MQ$ 的弧长 $|\stackrel{⌢}{\mathrm{MQ}}|$ 、距离 $|MQ|$ 计算公式如下：
$$\begin{gathered} \Delta s=s(t+\Delta t)-s(t)=|\stackrel{⌢}{\mathrm{MQ}}| \\ |\stackrel{⌢}{\mathrm{MQ}}|=\Delta t^2+\Delta y^2 \end{gathered}$$
        显然
$$\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{|\stackrel{⌢}{\mathrm{MQ}}|}{|MQ|}=1$$
        弧微分计算公式如下：
$$\begin{array}{rl}\underset{\Delta t\to 0}{\lim }(\frac{\Delta s}{\Delta t}{)}^2& =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{|\stackrel{⌢}{\mathrm{MQ}}{|}^2}{|MQ{|}^2}\cdot \frac{|MQ{|}^2}{\Delta x^2}\\ & =(\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{|\stackrel{⌢}{\mathrm{MQ}}|}{|MQ|}{)}^2\cdot \underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta t^2+\Delta y^2}{\Delta t^2}\\ & =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }(1+(\frac{\Delta y}{\Delta t}{)}^2)\\ & =1+(y^{{}^{\prime }}{)}^2\end{array}$$
        即
$$\frac{ds}{dt}=\sqrt{1+(y^{{}^{\prime }}{)}^2}$$
        根据曲率定义，故障概率曲线在点 M 处的曲率计算公式如下：
$$K=\underset{\Delta s\to 0}{\lim }\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}=\frac{d\alpha }{dt}\cdot \frac{dt}{ds}$$
其中，
$$\begin{gathered} \tan \alpha =y^{{}^{\prime }} \\ \alpha =\arctan y^{{}^{\prime }} \\ \frac{d\alpha }{dt}=(\arctan y^{{}^{\prime }}{)}^{{}^{\prime }}=\frac{y^{{}^{\prime \prime }}}{1+y^{{}^{\prime }}} \end{gathered}$$
        通过上式，可得到曲率 K 为：
$$K=\frac{y^{{}^{\prime \prime }}}{[1+(y^{{}^{\prime }}{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}$$