【高中数学】数列

等差数列前 $n$ 项和性质

公式一：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

公式二：$S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

性质1：等差数列中依次 $k$ 项之和 $S_k,S_{2k}-S_k,S_{3k}-S_{2k},...$ 组成的数列是公差为 $k^{2}d$ 的等差数列

性质2：若等差数列的项数为 $2n-1$，则 $S_{2n-1}=(2n-1)a_n$

性质3：{an}\{a_n\}{an​} 为等差数列 ⇒{Snn}\Rightarrow \{\frac{S_n}{n}\}⇒{nSn​​} 为等差数列

性质4：若 {an},{bn}\{a_n\},\{b_n\}{an​},{bn​} 都为等差数列，$S_n,T_n$ 分别为他们的前 $n$ 项和，则 $\frac{a_n}{b_n}=\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}$

方程思想在等差数列求和中运用很重要，$a_1,d,n,a_n,S_n$ 五个元素可以知三求二

事实上，$\frac{S_n}{n}=A\cdot n+B\iff \left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 为等差数列，且有 $\frac{S_m}{m},\frac{S_{2m}}{2m},\frac{S_{3m}}{3m}$ 成等差数列

等比数列前 $n$ 项和性质

性质1：$S_{m+n}=S_n+q^n{S}_m$

性质2：若 $S_k,S_{2k}-S_k,S_{3k}-S_{2k}$ 均不为 $0$，则 $S_k,S_{2k}-S_k,S_{3k}-S_{2k}$ 是公比为 $q^k$ 的等比数列

性质3：若 {an}\{a_n\}{an​} 共有 $2n$ 项，则 $\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=q$，若 {an}\{a_n\}{an​} 共有 $2n+1$ 项，则 $\frac{S_{奇}-a_1}{S_{偶}}=q$

数列中必须重视分类讨论思想

涉及已知 $S_n$ 求 $a_n$ 时对 $n=1$ 以及 $n\ge 2$ 的讨论，求等比数列前 $n$ 项和时对 $q=1$ 与 $q\ne 1$ 的讨论

由数列递推公式求通项公式的常用方法

类型一：累加法 $a_{n+1}-a_n=f(n)$

即利用 $a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+...+(a_n-a_{n-1})$ 求解

例1：已知 {an}\{a_n\}{an​} 中，$a_1=\frac{1}{2},a_{n+1}=a_n+\frac{1}{4n^2-1}$ 求 $a_n$ 通项公式

类型二：累乘法 $a_{n+1}=a_n\cdot f(n)$

即利用 $a_n=a_1\cdot \frac{a_2}{a_1}\cdot \frac{a_3}{a_2}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{a_n}{a_{n-1}}$ 求解

例2：已知 {an}\{a_n\}{an​} 中，$a_1=1,a_n=n(a_{n+1}-a_n)$ 求 $a_n$

类型三：待定系数法 $a_{n+1}=c{a}_n+d$

1）若 $c=1$ 则为等差数列，略

2）若 $d=0$ 则为等比数列，略

3）若 $c\ne 1,d\ne 0$，则 {an}\{a_n\}{an​} 为线性递推数列，可以通过待定系数法构造辅助数列

方法演示：设 $a_{n+1}+\lambda =c(a_n+\lambda )$，得 $a_{n+1}=c{a}_n+(c-1)\lambda$

与 $a_{n+1}=c{a}_n+d$ 比较系数得 $(c-1)\lambda =d$，即 $\lambda =\frac{d}{c-1}$，所以有 $a_{n+1}+\frac{d}{c-1}=c(a_n+\frac{d}{c-1})$

定义新数列 $b_n=a_n+\frac{d}{c-1}$，则 $b_n$ 是公比为 $c$ 的等比数列，可以求出通项公式，最后反解出 $a_n$ 通项

例3：已知数列 {an}\{a_n\}{an​} 中，$a_n=1,a_{n+1}=3a_n+2$，求 {an}\{a_n\}{an​} 通项公式

类型四：取对数法 $a_{n+1}=p{a}_n^r,p>0,a_n>0$

例4：设正向数列 {an}\{a_n\}{an​} 满足 $a_1=1,a_n=2a_{n-1}^2$ 求通项公式

类型五：$a_{n+1}=p{a}_n+q^n$

法1）原递推公式两边同除 $q^{n+1}$ 得 $\frac{a_{n+1}}{q_{n+1}}=\frac{p}{q}\cdot \frac{a_n}{q_n}+\frac{1}{q}$，引入辅助数列 $b_n=\frac{a_n}{q_n}$ 转化成待定系数法型数列

法2）原递推公式两边同除 $p^{n+1}$ 得 $\frac{a_{n+1}}{p_{n+1}}=\frac{a_n}{p_n}+\frac{1}{p}(\frac{q}{p}{)}^n$，引入辅助数列 $b_n=\frac{a_n}{p_n}$ 利用累加法求解

例5：已知数列 $a_1=\frac{5}{6},a_{n+1}=\frac{1}{3}{a}_n+(\frac{1}{2}{)}^{n+1}$，求通项公式【用两种方法都做一遍】

类型六：倒数变换法 $a_{n+1}=\frac{a_n}{k{a}_n+b}$

例6：已知函数 $f(x)=\frac{x}{x+1}$ ，设数列满足 $a_{n+1}=f(a_n),a_1=\frac{1}{2}$ 求数列通项公式

数列求和的常用方法

法一：公式法

1）直接用等差、等比数列的求和公式

2）掌握一些常见的数列的前 $n$ 项和公式

$1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

例7：数列 {an}\{a_n\}{an​} 是等比数列，若 $a_2=2,a_5=\frac{1}{4}$ 则 $a_1{a}_2+a_2{a}_3+...+a_n{a}_{n+1}=$ _________________________________________________

法二：倒序相加法

如果一个数列 {an}\{a_n\}{an​} 中，与首、末两项 “等距离” 的两项的和相等，那么求这个数列的前 $n$ 项和可用倒序相加法，等差数列前 $n$ 项和就是这么推导出来的

例8：已知函数 $f(x)=(x+1{)}^{-1}$，数列 {an}\{a_n\}{an​} 是正项等比数列，且 $a_{1011}=1$ 则 $f(a_1)+f(a_2)+...+f(a_{2020})+f(a_{2021})=$___________________________________________________________

法三：错位相减法

错位相减法求和适用于 {an⋅bn}\{a_n·b_n\}{an​⋅bn​} 型数列，其中两个数列分别是等差数列和等比数列

例9：已知在等差数列 $a_n$ 中，$a_3=4,a_7=8$

（1）求 $a_n$ 通项公式

（2）令 $b_n=\frac{a_n}{2^{n-1}}$，求 $b_n$ 的前 $n$ 项和 $T_n$

法四：裂项相消法

常见的拆项公式有：

1）若 $a_n$ 等差，则 $\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}=\frac{1}{d}(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}})，\frac{1}{a_n{a}_{n+2}}=\frac{1}{2d}(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+2}})$

2）$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

3）$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})$

4）$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$

5）$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}[\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}]$

6）$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

7）$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+k}}=\frac{1}{k}\sqrt{n+k}-\sqrt{n}$

8）$\frac{2^n}{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}=\frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1}$

9）$\frac{n+2}{n(n+1)\cdot 2^n}=\frac{1}{2^{n-1}\cdot n}-\frac{1}{2^n\cdot (n+1)}$

例10：已知数列 $a_n$ 的前 $n$ 项和 $S_n$，$a_1=1$，对任意的 $n\in N^{\ast }$ 都有 $a_n>0$，且 $a_{n+1}^2=2S_n+a_{n+1}$

（1）求通项公式

（2）设数列 {1anan+2}\{\frac{1}{a_na_{n+2}}\}{an​an+2​1​} 的前 $n$ 项和为 $T_n$，求 $T_n$

法五：分组求和法

1）若 $a_n=b_n\pm c_n$ 且 $b_n,c_n$ 为等差或等比数列，可采用分组求和法求 $a_n$ 前 $n$ 项和

2）通项公式为 $a_n=\begin{cases} b_n,n为奇数\c_n,n为偶数\end{cases} $ 且 $b_n,c_n$ 为等差或等比数列，可采用分组求和法求 $a_n$ 前 $n$ 项和

例11： $a_n$ 前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1$，求证 {an+1}\{a_n+1\}{an​+1} 是等比数列且求 $S_n$

法六：并项求和法

1）形如 $a_n=(-1{)}^{n}f(n)$

2）周期数列或者具有周期性规律的数列

例12：设各项均为正数的数列 $a_n$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，满足 $a_1=1,a_n^2=S_n+S_{n-1}$

（1）证明：数列 {an}\{a_n\}{an​} 为等差数列

（2）若 $b_n=(-1{)}^n(2a_n{)}^2$ 求数列 $b_n$ 的前 $n$ 项和 $T_n$

用放缩法处理数列和不等问题

先求和再放缩（先裂项求和，再放缩）

例13：正数数列 {an}\{a_n\}{an​} 的前 $n$ 项和为 $S_n,2\sqrt{S_n}=a_n+1$

（1）求数列通项公式

（2）设 $b_n=\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}$，$b_n$ 的前 $n$ 项和为 $B_n$，求证 $B_n<\frac{1}{2}$

例14：设数列 {an}\{a_n\}{an​} 的前 $n$ 项和 $S_n=\frac{4}{3}{a}_n-\frac{1}{3}{2}^{n+1}+\frac{2}{3}$

（1）求 $a_1$ 和通项 $a_n$

（2）设 $T_n=\frac{2^n}{S_n}$，证明 ${\sum }_{i=1}^n{T}_i<\frac{3}{2}$

先放缩再求和

放缩成等比数列，再求和

例15：等比数列 {an}\{a_n\}{an​} 中，$a_1=-\frac{1}{2}$，前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_7,S_9,S_8$ 成等差数列

设 $b_n=\frac{a_n^2}{1-a_n}$，数列 {bn}\{b_n\}{bn​} 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，求证 $T_n<\frac{1}{3}$

例16：已知数列满足 $a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1$

（1）求通项公式

（2）若数列 $b_n$ 满足 $4^{b_1-1}{4}^{b_2-1}....4^{b_n-1}=(a_n+1{)}^{b_n}$ 求证 {bn}\{b_n\}{bn​} 是等差数列

（3）证明 $\frac{n}{2}-\frac{1}{3}<\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_n}{a_{n+1}}<\frac{n}{2}$

放缩为差比数列，再求和

例17：已知数列 {an}\{a_n\}{an​} 满足 $a_1=1,a_{n+1}=(1+\frac{n}{2^n})a_n$ 求证 $a_{n+1}>a_n\ge 3-\frac{n+1}{2^{n-1}}$

放缩为等差数列，再求和

例18：已知各项均为正数的数列 {an}\{a_n\}{an​} 前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_n^2+a_n=2S_n$

（1）求证 $S_n<\frac{a_n^2+a_{n+1}^2}{4}$

（2）求证 $\frac{S_n}{\sqrt{2}}<\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+...+\sqrt{S_n}<\frac{S_{n+1}-1}{\sqrt{2}}$

函数放缩（构造函数，通过单调性放缩）