最长递增子序列

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本文介绍了一种求解最长递增子序列的有效算法。利用动态规划思想，定义dp[i]为以第i个元素结尾的最长递增子序列长度，并通过二分查找优化过程，实现了高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

给定一个长度为N的数组a0,a1,a2...,an-1，找出一个最长的单调递增子序列（注：递增的意思是对于任意的i<j，都满足ai<aj，此外子序列的意思是不要求连续，顺序不乱即可）。例如：给定一个长度为6的数组A{5， 6， 7， 1， 2， 8}，则其最长的单调递增子序列为{5，6，7，8}，长度为4。

提示：一种解法是转换为最长公共子序列问题，另外一种解法则是动态规划。当我们考虑动态规划解决时，可以定义dp[i]为以ai为末尾的最长递增子序列的长度，故以ai结尾的递增子序列

要么是只包含ai的子序列
要么是在满足j<i并且aj<ai的以ai为结尾的递增子序列末尾，追加上ai后得到的子序列

如此，便可建立递推关系，在O(N^2)时间内解决这个问题。

int binFind(int* arr, int len, int goal) {
	int low = 0;
	int high = len - 1;
	while (low <= high) {
		int mid = (low + high) >> 1;
		if (arr[mid] == goal) {
			return mid;
		} else if (arr[mid] < goal) {
			low = mid + 1;
		} else {
			high = mid - 1;
		}
	}
	return low;
}

stack<int> findLongestSubquence(int* arr, int len) {
	stack<int> result;
	if (!arr || !len) {
		return result;
	}
	int* dp = new int[len];
	memset(dp, 0, len * sizeof(int));
	int* tmp = new int[len];
	memset(tmp, 0, sizeof(int) * len);

	dp[0] = 1;
	tmp[0] = arr[0];
	int curLen = 1;
	for (int i = 1; i < len; ++i) {
		int index = binFind(tmp, curLen, arr[i]);
		if (index == curLen) {
			curLen++;
		}
		tmp[index] = arr[i];
		dp[i] = index + 1;
	}

	for (int i = len; i >= 0; --i) {
		if (dp[i] == curLen) {
			result.push(arr[i]);
			curLen--;
			if (!curLen) {
				break;
			}
		}
	}
	delete dp;
	delete tmp;
	return result;
}