导函数连续、可导、可微、连续、有界、可积的关系,史上最全!一张图搞定!

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在数学分析中,特别是在多元函数的领域,"可"、"偏"和"偏连续"以及"连续"这几个概念之间存在紧密的联系。 1. **可**(Differential):如果一个多变量函数在其定义域内的一点上,其所有偏数都存在并且该点处的函数值也存在,则称这个函数在这点上可。这是分学的基本概念,意味着函数在这一点附近可以用线性近似来描述。 2. **偏数**(Partial Derivative):对于一个多元函数来说,每个自变量的数称为对应的偏数。比如对函数f(x, y)而言,∂f/∂x表示x对f的偏数,∂f/∂y表示y对f的偏数。 3. **偏连续**(Continuous Partial Derivatives):如果一个函数的所有偏数在某一点上都是存在的,并且这些偏数在该点的值也是连续的,那么我们说函数在这一点具有偏数的连续性。这是一个更弱的条件,即使函数本身可能不连续。 4. **连续性**(Continuity):对于单变量函数,如果它的像是一个没有间断点的曲线,我们就说它是连续的。对于多变量函数,若函数值对于输入的变化是连续变化的,即在某一点的极限值等于该点的函数值,则称函数在这个点连续。 总结一下关系: - 如果一个函数在某一点既可又偏连续,那么它在那一点必定是连续的。 - 反之,如果一个函数在某点连续,但偏数不存在或不连续,函数并不一定可。 - 偏连续只是可的一个必要条件,而不是充分条件,因为还要求函数值本身存在。
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