【C++】图的最短路径

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最短路径

我们把边上带有权值的图称作带权图、有权图。一张连通图内任意两点间都会有不同的路径连接，最短路径指的就是路径上所有边的权值和最小的一条路

求最短路径长度的算法

有四种方法可以解决最短路径问题，但对于边上权值的不同情况，有些方法无法使用

注：边的权值可能为负。如果一个环上的权值之和是负数，则称这个环是负权回路，简称负环

Floyed-Warshall算法

Floyed-Warshall，简称Floyed（弗洛伊德），是相对简单的最短路径算法，可计算所有结点之间的最短路径（APSP），适用于出现负权的情况，但时间复杂度高达O(n³)，所以仅仅能用在顶点数量较少的情况（如果只有100多就放心用）

算法描述：

1. 输入，初始化dist数组，赋上边权，如果不联通则设定为一个很大的值即可（通常为INT_MAX）
2. 通过三层循环更新顶点之间的最短路径长度
3. 结束，dist[i][j]的值就是 i 到 j 的最短路径长度

代码实现

void floyed(int n)//n为顶点数 
{
   
	int i,j,k;
	for(k=1;k<=n;k++)//循环中间点k
		for(i=1;i<=n;i++)//循环起点i
			for(j=1;j<=n;j++)//循环终点j
				if(dist[i][k]!=INT_MAX&&dist[k][j]!=INT_MAX&&/*防止溢出*/dist[i][j]>dist[i][k]+dist[k][j])
				{
   
					//如果点i到点k的距离加上点k到点j的距离，小于原先点i到点j的距离，那么就用这个更短的更新原先的距离
					dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
				}

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Dijkstra算法

迪杰斯特拉算法，一种单源最短路径算法（SSSP），只能计算一个点到其他所有点的最短路径，也就是起点只能有一个。它的时间复杂度是O(n²)，不能处理有负权的情况

算法描述（队列做法）：（设起点为s）

1. 初始化dist[s]=0，其余为一个很大的值（通常为INT_MAX）
2. 进入循环，直到优先队列为空
3. 用没被访问过的点中找到一个点u，使得dist[u]最小，并用dist[u]更新与之相连的点的dist，并把这些点全部入队
4. 优先队列为空，算法结束，dist[u]即为s到u的最短路径

代码实现

typedef struct node
{
   
	int v,w;
	bool operator < (const struct node & t) const
	{
   
		return w>t.w;
	}
}NODE,*PNODE;
NODE tmp,tmp1;
priority_queue<node> pq;
//省略全局变量与数组
void dijkstra(int s)
{
   
	int i;
	tmp.v=s;
	tmp.w=0;
	pq.push(tmp);
	whil