悖论讨论

一、集合论悖论

1902 年，英国数学家罗素提出了这样一个理论：以 M 表示是其自身成员的集合的集合，
N 表示不是其自身成员的集合的集合。然后问 N 是否为它自身的成员？如果 N 是它自身的
成员，则 N 属于 M 而不属于 N，也就是说 N 不是它自身的成员；另一方面，如果 N 不是它
自身的成员，则 N 属于 N 而不属于 M，也就是说 N 是它自身的成员。无论出现哪一种情况
都将导出矛盾的结论，这就是著名的罗素悖论。
1919 年罗素给出了上述悖论的通俗形式，即“理发师悖论”：一天，萨维尔村理发师
挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”
于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。
因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明
他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发
的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，
不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。
哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发
展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他
们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠
正的方法是什么。在 1903 年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打
断了。”
他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我
说什么都是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。
只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。”
罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那
些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是
这一方法并没有取得成效。“1903 年和 1904 年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一
件事，但是毫不成功。”
《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语
说明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未
曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。
接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那
个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一分子。”这一观点比较容易理解，如果这个
悖论是克利特以为的什么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，问题并不这么简单。
悖论还有很多，比如有这样一个悖论：“我正在说的这句话是谎话”公元前四世纪的希
腊数学家欧几里德提出的这个悖论，至今还在困扰着数学家和逻辑学家。这就是著名的说慌
者悖论。在中国古代《墨经》中，也有一句十分相似的话：“以言为尽悖，悖，说在其言。”
意思是：以为所有的话都是错的，这是错的，因为这本身就是一句话。
悖论不断的影响着数学的发展，科学家们为了消除悖论，做了大量的工作，将集合论进
行公理化，形成了今天常用的策梅洛—弗兰克尔公理系统。

二、策梅洛—弗兰克尔公理系统

策梅洛(Zermelo)，1871～1953，德国数学家，公理集合论的主要开创者之一。
策梅洛的主要贡献是集合论基础，1904 年发表的论文不仅解决了 G.康托尔的良序问题，
而且给出了选择公理（也称为策梅洛公理），它有上百种等价形式，已应用于几乎每一个数
学分支，成为一个独立的研究领域。他在 1908 年建立了第一个集合论公理系统，给出了外
延、空集合、并集合、幂集合、分离、无穷与选择等公理，A.A. 弗兰克尔和 A.T.斯科朗又
作了改进，增加了替换公理，J.冯·诺伊曼进一步提出了正则公理，后经策梅洛的总结构成
了著名的集合论公理系统: 策梅洛—弗兰克尔公理系统，形成了公理集合论的主要基础。