[区间dp] NC13230合并回文子串

题面

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   输入两个字符串A和B( $|A|,|B|<50$ )，合并成一个串C，属于A和B的字符在C中顺序保持不变。如"abc"和"xyz"可以被组合成"axbycz"或"abxcyz"等。
   我们定义字符串的价值为其最长回文子串的长度（回文串表示从正反两边看完全一致的字符串，如"aba"和"xyyx"）。需要求出所有可能的C中价值最大的字符串，输出这个最大价值。
  

分析

  若是这题暴力把所有合成的 C 串找出来，则共有 $C_{100}^{50}$ 种可能，这种指数复杂度是不能承受的。而类比找一个字符串的回文串，若是只是单个字符串，我们可以通过dp进行 $O(n^2)$ 的算法：

//字符串从s[1]开始存储，长度为len
for(int L = 1; L <= len; L++)
{
   
    for(int i = 1; i + L  - 1 <= len; i++)
    {
   
        int j = i + L - 1;             
        if(s[i] == s[j] && (L <= 2 || dp[i+1][j-1]))
        {
   
            dp[i][j] = 1;
            ans = max(ans, L);
        }
    }
}

  若是要用动态规划，区间dp的思想是考虑从小规模的状态转移到大规模的状态，因此肯定是从长度较小的回文子串转移到长度较大的回文子串，即如果一个回文串首尾加上同样的字母，可以构成一个新的更长的回文串。
  若是用 $dp[i][j]$ 表示区间 $[i,j]$ 构成的子串是不是回文串(01表示)，那么一个区间是回文串有以下三种可能：
  ①$i=j$，即单个字符是回文串；
  ②$i=j-1$ 并且 $s[i]=s[j]$，即两个一样的字符是回文串；
  ③ $i<j-1$ 并且 s [ i ] = s [ j ] ，   d p [