codeforces 851 D. Arpa and a list of numbers(前缀和+bruteforce)

最新推荐文章于 2020-07-31 16:33:53 发布

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本文介绍了一种利用素数优化的算法，通过预处理前缀和实现O(1)计算，有效解决了暴力枚举素数导致的时间复杂度过高的问题。算法针对特定区间内的数值进行加减操作，并详细阐述了计算过程及复杂度分析。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

D. Arpa and a list of numbers

分析

是我太天真了，暴力枚举素数还是计算还是有问题的，复杂度太高，不过你可以发现只需要再处理一个前缀和就可以了….下面进入正题

首先显然可以想到枚举素数，那么最终就是对于每个素数的计算问题了，如果暴力计算的化肯定是要超时的，其实我们可以在 $O(1)$ 计算花费.

对于素数 $k$ 来说，不为 $k$ 的倍数的数都要加到 $k$ 的倍数,所以只需要对每一个倍数区间计算就好，在 $[i*k,(i+1)*k]$ 的区间内，显然只有 $a_i + \left \lfloor{x/y}\right \rfloor \ge (i+1)*k$ 的数会加，其余都删除，因此，我们预处理一个前缀和 $sum$ 表示到[0,n] 的总个数

$(sum[i+\left \lfloor{x/y}\right \rfloor -1] - sum[i*k])*x$ , 表示删除的花费,

那么加操作的花费呢？对于在 $[i*k,(i+1)*k]$ 的区间内满足 $a_i + \left \lfloor{x/y}\right \rfloor \ge (i+1)*k$ 的数来说，它的花费是 $((i+1)*k - a_i)*y$ ,因此所有需要加的数的花费为

\sum i = 1 s ((i + 1) * k - a i) * y = y * (s (i + 1) * k - \sum a i)

$\sum_{i=1}^s((i+1)*k - a_i)*y=y*(s(i+1)*k - \sum a_i)$

因此预处理一个关于 $a_i$ 值的前缀和就好了， $O(1)$ 计算，总复杂度 $nlog(n)$

ac code

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define PI acos(-1)
#define fi first
#define se second
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INF64 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1))
#define ms(x,v) memset((x),(v),sizeof(x))
#define scint(x) scanf("%d",&x );
#define scf(x) scanf("%lf",&x );
#define eps 1e-10
#define dcmp(x) (fabs(x) < eps? 0:((x) <0?-1:1))
#define lc o<<1
#define rc o<<1|1
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long double DB;
typedef pair<int,int> Pair;
const int maxn = 2e6+10;
const int MAX_V= 500+10;
const int MOD = 998244353;
int prime[maxn],cnt;
void init(){
    cnt =0;
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    for(int i = 2 ; i<maxn ; ++i){
        if(!prime[i]){
            prime[cnt++] = i;

        }
        for(int j=0 ; j<cnt && i*prime[j]<maxn ; ++j){
            prime[i*prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j] == 0) break;
        }
    }
}
LL a[maxn],p[maxn];
LL sum[maxn];
int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    init();
    int n,x,y;
    ms(a,0);
    cin>>n>>x>>y;
    int maxv =0;
    for(int i=0 ; i<n ; ++i){
        int tmp;

        cin>>tmp;a[tmp]++;
        maxv = max(maxv,tmp);
    }
    sum[0] =0;
    p[0] =0;
    for(int i=1 ; i<maxn ; ++i){
        sum[i] = sum[i-1] + a[i];
        p[i]+= p[i-1] +a[i]*i;
    }
    LL ans =1e18;
    int t = x/y;
    for(int j =0 ; j<cnt&& prime[j] <= 2*maxv; ++j){
        int k = prime[j];
        LL res =0;
        for(int i = k ; i<maxn&&i<=2*maxv; i+=k){
            int bound = min(t,k-1);
            res += (sum[i-bound-1] - sum[i-k])*x;
            if(res >= ans)break;
            LL s = sum[i-1] - sum[i-bound-1];
            res += (s*i - (p[i-1] - p[i - bound - 1]))*y;
        }
        ans = min(res,ans);
    }
    std::cout << ans << '\n';

    //std::cout << "time "<< clock()/1000 <<"ms"<< '\n';
    return 0;
}