CodeForces - 851D Arpa and a list of numbers （数学+思维）

最新推荐文章于 2020-07-15 23:26:07 发布

兜率工

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分类专栏：数论

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本文提出一种高效算法，通过枚举素数并利用前缀和优化计算过程，实现给定数列经最少代价操作后最大公约数不为1的目标。适用于数值操作与算法优化场景。

题意：

给定n个数字，要求操作后n个数字的gcd不为1，并且操作的代价最小，每个数字有两种操作，删除的代价为x，数字加1的代价为y。

分析：

最暴力的想法当然是枚举gcd（听说可以过）

但是所有数的gcd当然是一个素数的倍数，那么我们枚举素数就可以了。

若当前数字是 a，设 k = a%p 那么可以知道

如果 $k \in [0,\frac{x}{y})$ 那么加上1

如果 $k \in [\frac{x}{y},p)$ 那么删除该数

so：

删除的代价为：该区间在数组中的数字个数*x

加上1的代价为：（该区间在数组中的数字个数*p-该区间在数组中的数字和）*y

但是取余计算个数跟和每次计算都得枚举一遍，复杂度有点大，所以采用枚举素数长度的区间。

那么区间个数和区间和就可以采用前缀和计算。

如果 $a \in (p-\frac{x}{y},p]$ 那么加上1，

如果 $a \in (0,p-\frac{x}{y}]$ 那么删除该数

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn=1e6+10;

bool flag[maxn];
int prime[maxn],pi;

void get_prime(){
    pi=0;
    memset(flag,0,sizeof flag);
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        if(!flag[i]) prime[pi++]=i;
        for(int j=0;j<pi&&i*prime[j]<maxn;j++){
            flag[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

ll num[maxn*3],sum[maxn*3],a[maxn*3];

int main(){

    get_prime();
    ll n,x,y;
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&x,&y);
    for(int i=0;i<n;i++){
        ll tmp;
        scanf("%lld",&tmp);
        a[tmp]++;
    }
    for(int i=1;i<maxn*3;i++){
        num[i]=num[i-1]+a[i];
        sum[i]=sum[i-1]+1ll*i*a[i];
    }
    ll ans=LONG_LONG_MAX;
    ll mov=(x+y-1)/y;
    for(int i=0;i<pi;i++){
        ll p=prime[i];
        ll tmp=0;
        for(ll j=0;j<=(ll)maxn+p;j+=p){
            tmp+=(num[j+max(p-mov,0ll)]-num[j])*x;
            tmp+=((num[j+p]-num[j+max(p-mov,0ll)])*(j+p)-(sum[j+p]-sum[j+max(p-mov,0ll)]))*y;
        }
        ans=min(ans,tmp);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}