费马小定理以及快速幂应用

原创 已于 2022-03-12 20:30:22 修改 · 766 阅读 · 0 ·
CC 4.0 BY-SA版权
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
文章标签：

#概率论 #线性代数 #几何学

于 2022-01-15 10:22:42 首次发布

费马小定理

定理

假设p为质数，a不是p的倍数，则有
a p − 1 ≡ 1 ( m o d   p ) a^{p-1}\equiv 1(mod \space p) ap−1≡1(mod p)

例子

求
2 100 关 于 13 的 余 数 2^{100}关于13的余数 2100关于13的余数
2 100 = 2 12 × 8 ⋅ 2 4 = 16 ( m o d   13 ) = 3 ( m o d   13 ) 2^{100}=2^{12 \times 8} \cdot2^4=16 (mod \space 13)=3 (mod \space 13) 2100=212×8⋅24=16(mod 13)=

最低0.47元/天 解锁文章
（小费马定理降幂）Sum
及时总结
08-17 1137
题目： 分析与解答： 参考思路： https://www.cnblogs.com/stepping/p/7144512.html https://blog.youkuaiyun.com/strangedbly/article/details/50996908 根据隔板定理，把N分成一份的分法数为C(1,n-1)， 把N分成两份的分法数为C(2,n-1)， 把N分成三份的分法数为C(3,n-...
费马小定理(应用+拓展)
TheWayForDream
10-15 1285
费马小定理(应用+拓展) 定义：如果两个整数a,p互质，也就是gcd(a,p)=1,那么a^(p-1)≡1( mod p). 公式拓展一下 拓展公式1：n*a^(p-1)≡n(mod p) 拓展公式2：a^(p-2) ≡ a ^(-1) (mod p) 拓展公式3：a^b ≡ a^(bmod(p-1)) (mod p) 求(A/B)%999983，但由于A很大，我们只给出n(n=A%999983)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,999983) = 1)。 Input Input 数据的第一行是一个
费马小定理+快速幂
weixin_30824599的博客
08-03 932
一、费马小定理 假如 a 是一个整数，p 是一个质数，那么是 p 的倍数，则可以表示为 eg : if a = 2 and p = 7, 27 = 128, and 128−2 = 7 × 18 is an integer multiple of 7. 如果 a 不是 p 的倍数，则定理还可以表示为 For exam...
2015 CSUST校赛 - 超级快速幂【费马小定理】+【快速幂取模】
Fighting!
05-02 2568
 超级快速幂 Time Limit: 3000/1000 MS(Java/Others)   Memory Limit:65536/65536 K (Java/Others) Description   请计算：    a^(b^c)mod(1e9+7) Input   多组数据，第一行为一个整数T，代表数据组数，接下来每行
费马小定理 快速幂
goto_1600的博客
03-30 417
题意求一个超级大的数N，分成i种方案的总和，这个有个隔板法的公式，结果为2^(n-1)-1，因为n太大用费马小定理 费马小定理，a^(p-1)=1(%p) 当p和a互质的时候，把n%（p-1）和n等效。 #include<iostream> #include<string> using namespace std; const int mod=1e9+7; int qs(...
快速幂&费马小定理
QiHang的博客
08-15 913
快速幂模板
费马小定理的归纳法证明和应用
weixin_62599885的博客
10-24 3996
费马小定理的归纳法证明和应用
1.2.1 费马小定理与素数测试1
08-03
费马小定理是数论中的一个重要定理，它与素数测试紧密相关，尤其在判断大数是否为...总的来说，费马小定理、Euler-Fermat定理以及相关的素数测试方法是数论中的基本工具，它们在密码学、大数计算等领域有着广泛的应用。
（超简单、超易懂、超详细）算法精讲(三十三)：费马小定理
Malex2024的博客
06-24 1254
费马小定理是一个在数论中常用的定理，它可以用来快速求解大数取余的问题。费马小定理的表述如下：如果p是一个素数，a是一个整数且a不是p的倍数，那么a^(p-1)模p的结果等于1。利用费马小定理，我们可以在求解大数取余的过程中，将指数进行简化，从而减少计算量。具体算法如下：将底数a和模数p取余，得到a mod p。如果p是一个素数，计算a^(p-1) mod p。根据费马小定理，结果应该是1。
CSUST：超级快速幂（费马小定理）
junior19的博客
07-17 705
超级快速幂 Time Limit: 3000/1000 MS(Java/Others)   Memory Limit:65536/65536 K (Java/Others) Description   请计算：    a^(b^c)mod(1e9+7) Input   多组数据，第一行为一个整数T，
hdu 5525 Product (费马小定理优化的快速幂)
JIBANCANYANG
12-01 805
@(K ACMer)题意: 给你一个nn个数的数列:ana_n. 求∏i=1niai % mod\prod_{i = 1}^ni^{a_i} \ \%\ mod分析: 知识补充: - 一个数的约数的个数等于:(p1+1)∗(p2+1)∗....∗(pn+1)(p_1 + 1) * (p_2 + 1)*....*(p_n + 1)(pi表示这个数的各个质因子的个数)(p_i表示
hdu4704 费马小定理，快速幂及大数取模
aaaliaosha的博客
03-06 821
求数n能有多少个划分,可以算得是2^(n-1)个,但n可以达到特别大通过费马小定理可知,2^(n-1)%(10^9+7)=2^((n-1)%(10^9+6))%(10^9+7)，(n-1)%(10^9+6)可以用大数取模算出，接下来的用快速幂及取模就可以代码如下：#include&lt;iostream&gt; using namespace std; #include&lt;iostream&...
数学专题快速幂+费马小定理
Dave_lzw的博客
07-09 497
题目： 思路：一个数字重复k次，被5整除结尾必定是0或者5，那么总的删除方案就是等比数列求和。 2^i * ( 1 - 2 ^ n*k ) / ( 1 - 2 ^ n ) 除法求逆元用费马小定理。 Code： #include &lt;bits/stdc++.h&gt; #define LL long long using namespace std; const int AX = 1...
费马小定理 和 快速幂模
准备写一写博客
07-25 804
这一切都得从这道题目说起 杭电oj 6970. 索引费马小定理快速幂模题解 费马小定理 若存在整数 a , p 且gcd(a,p)=1,即二者互为质数，则有a^(p-1)≡ 1(mod p)。 总结一下形式，费马小定理就是：在a，p互质的前提下有 a(p−1)≡1(modp)a^{(p-1)}\equiv1\pmod{p}a(p−1)≡1(modp) 另一种形式是： a(p)≡a(modp)a^{(p)}\equiv a\pmod{p}a(p)≡a(modp) 快速幂模 利用引理：积的取余等于取余的积的取
费马小定理+快速幂【HDU4704】
KIKO_caoyue的博客
12-05 252
传送门隐藏起来啦 题目要求将N划分。N个数共有N-1个空隙，我们在空隙内插入隔板，插入0个隔板的方案数为C(N-1,0)，插入1个隔板的方案数为C(N-1,1)，依此类推，方案数就是2N-1，但是N这么大，怎么算呢？ 下面引入费马小定理： 给定两个数a,p，若a和p互质，则有ap-1≡1(mod p)，有了这个东西，我们就可以将N不断缩小啦！ 显然2和1e9+7互质，然后呢就是 2N-1(mod ...
【快速幂-费马小定理讲解】哈理工 1251 Marshal’s Confusion III
lhc-----
02-06 560
1.费马小定理(Fermat’s little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出，其内容为： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p），例如：假如a是整数，p是质数，则a,p显然互质(即两者只有一个公约数1)，那么我们可以得到费马小定理的一个特例，即当p为质数时候， a^(p-1)≡1(mod p)。 2.百度（费马小定理求余数应用）
费马小定理，快速幂求解，欧几里得算法
nidayededaye2的博客
07-30 833
费马小定理+快速幂求解+ 欧几里得算法求逆元或扩展欧几里得求逆元 1.费马小定理 若存在整数 a , p 且gcd(a,p)=1,即二者互为质数，则有a^(p-1)≡ 1(mod p)。(这里的 ≡
费马小定理：
weixin_41391865的博客
09-18 857
若p是质数，且a和p互质，则(a^(p-1))%p=1。 例如： 3和5互质，那么(3^(5-1))%5=(3^4)%5=81%5=1。 应用： 求逆元，时间复杂度O(log(n))。 因为(a^(p-1))%p=(axa^(p-2))%p=((a%p)x(a^(p-2))%p)%p=1， 由此得到：inv(a)=(a^(p-2))%p。 计算过程需要快速幂优化。...
M斐波那契数列（矩阵快速幂+费马小定理）
weixin_30682415的博客
03-13 167
M斐波那契数列 Time Limit: 3000/1000 MS (Java/Others)Memory Limit: 65535/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 1672Accepted Submission(s): 482 Problem Description M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：F[0...
费马小定理如何用于快速幂求解乘法逆元？
最新发布
08-21
### 费马小定理在快速幂求解乘法逆元中的应用 费马小定理是数论中的一个重要定理，其描述为：如果 $ p $ 是一个质数，且 $ b $ 不是 $ p $ 的倍数，则有： $$ b^{p-1} \equiv 1 \ (\text{mod} \ p) $$ 基于这一结论，可以推导出 $ b $ 的乘法逆元。具体来说，乘法逆元的定义是：若 $ b \cdot x \equiv 1 \ (\text{mod} \ p) $，则 $ x $ 是 $ b $ 在模 $ p $ 意义下的乘法逆元。根据费马小定理，可以进一步得出： $$ b \cdot b^{p-2} \equiv 1 \ (\text{mod} \ p) $$ 因此，$ b^{p-2} \ \text{mod} \ p $ 就是 $ b $ 的乘法逆元。 在实际计算中，为了高效求解 $ b^{p-2} \ \text{mod} \ p $，通常采用快速幂算法。快速幂通过将指数分解为二进制形式，并利用模运算的性质，将幂次运算的时间复杂度从 $ O(n) $ 降低到 $ O(\log n) $。这种方法特别适合处理大数幂运算，例如在模数 $ p $ 较大的情况下。 以下是一个使用快速幂算法求解乘法逆元的示例代码： ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 快速幂算法（取模）：a^b % p long long pow_mod(long long a, long long b, long long p) { long long result = 1; a %= p; while (b) { if (b & 1) // 如果b是奇数 result = (result * a) % p; a = (a * a) % p; // 平方 b >>= 1; // 将b右移一位 } return result; } // 求a在模p下的乘法逆元（费马小定理，p必须为质数） long long inv(long long a, long long p) { return pow_mod(a, p - 2, p); } int main() { long long a, p; cout << "请输入a和p的值（p必须为质数）：" << endl; cin >> a >> p; cout << a << "在模" << p << "下的乘法逆元是：" << inv(a, p) << endl; return 0; } ``` #### 代码说明 - `pow_mod` 函数实现了快速幂算法，用于计算 $ a^b \ \text{mod} \ p $。 - `inv` 函数调用 `pow_mod`，传入参数 $ a $、$ p-2 $ 和 $ p $，以计算 $ a^{p-2} \ \text{mod} \ p $，即 $ a $ 在模 $ p $ 意义下的乘法逆元。 - 在 `main` 函数中，用户输入 $ a $ 和 $ p $ 的值，程序输出对应的乘法逆元。 #### 适用条件 - 使用费马小定理的前提是模数 $ p $ 必须为质数。 - $ a $ 不能是 $ p $ 的倍数，否则无法满足 $ \text{gcd}(a, p) = 1 $，从而无法保证乘法逆元的存在。 通过快速幂算法，可以在 $ O(\log p) $ 的时间复杂度内高效地求解乘法逆元，这在实际应用中具有重要意义，尤其是在密码学和大数运算等领域。 --- ###
评论
成就一亿技术人!
拼手气红包6.0元
还能输入1000个字符
 
红包 添加红包
表情包 插入表情
表情包 代码片
 条评论被折叠 查看
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包

打赏作者

艾醒(AiXing-w)

你的鼓励将是我创作的最大动力

¥1 ¥2 ¥4 ¥6 ¥10 ¥20
扫码支付：¥1
获取中
扫码支付

您的余额不足，请更换扫码支付或充值

打赏作者

实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值