【快速幂-费马小定理讲解】哈理工 1251 Marshal’s Confusion III

本文介绍费马小定理的基本概念及其在快速幂运算中的应用,并通过实例展示了如何利用该定理简化计算过程。同时,提供了两种不同的快速幂实现方式,帮助读者深入理解算法原理。

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1.费马小定理(Fermat’s little theorem)是数论中的一个重要定理,在1636年提出,其内容为: 假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a(p-1)≡1(mod p),例如:假如a是整数,p是质数,则a,p显然互质(即两者只有一个公约数1),那么我们可以得到费马小定理的一个特例,即当p为质数时候, a^(p-1)≡1(mod p)。

2.百度(费马小定理求余数应用)
11是素数,∴4^10≡1 (mod11)
而5^273的个位数字是5
∴设5^273=10n+5
∴4^(5^273)=4^(10n+5)=(4^10)^n·4^5
而(4^10)^n≡1^n≡1 (mod11)
∴4^(5^273)≡4^5≡16·16·4≡5·5·4≡3·4≡1 (mod11)

3.快速幂模板:

//快速幂模板:  
lint quick(lint base, lint pow)  
{  
    lint ret=1;  
    while(pow)  
    {  
        if (pow&1) ret=(ret*base)%mod;  
        base=(base*base)%mod;  
        pow>>=1;  
    }  
    return ret%mod;//记得最后mod,比如mod==1的情况  
}  

4.哈理工 1251 Marshal’s Confusion III

#include <iostream>
using namespace std;
const int mod=317000011;
long long mul(long long m,long long n,int k)
{
    long long res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            res=(res*m)%k;
        m=(m*m)%k;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        cout<<mul(a,mul(b,c,mod-1),mod)<<endl;
    }
    return 0;
}
 for(int i=0;i<c;i++)
        {
            sum1=fp(a,b);
            a=sum1;
        }
        //这个更好理解点
<think>嗯,用户想了解如何用费马小定理来简化模幂运算。首先,我需要回忆一下费马小定理的内容。定理说的是如果p是质数,且a和p互质,那么a的(p-1)次方模p等于1,也就是$a^{p-1} \equiv 1 \mod p$。这个定理在模运算里很有用,尤其是处理大指数的时候。 那用户的问题是如何利用这个定理来简化模幂运算。比如,计算a的e次方模p,当e很大的时候,直接计算会很麻烦。这时候费马小定理可以用来将指数减小。比如,如果p是质数,a和p互质,那么可以把e写成k*(p-1)加上余数r,这样$a^e \mod p$就可以变成$a^{k*(p-1) + r} \mod p$,也就是$(a^{p-1})^k * a^r \mod p$。根据定理,a的(p-1)次方模p是1,所以整个式子可以简化为$a^r \mod p$,这样就只需要计算r次方的模,r是e对(p-1)取模的结果。 接下来需要确认的是这个方法的应用条件。首先,p必须是质数,其次a和p必须互质。如果这两个条件不满足,费马小定理就不能直接应用。比如,如果p不是质数,可能需要用欧拉定理,这时候指数模的是欧拉函数φ(p)的值,但用户的问题里没有提到这个,所以可能不需要展开。 然后要考虑例子,比如计算3^100模7。7是质数,3和7互质,所以根据费马小定理,指数可以模6(因为7-1=6)。100除以6余4,所以结果是3^4 mod7,也就是81 mod7等于4。这个例子能清楚展示步骤。 另外,可能用户会问到当指数小于p-1的时候是否需要处理,这时候可能不需要简化,但也可以应用,比如指数是5,p是7,那么余数还是5,结果不变。但需要指出这个方法在指数大于等于p-1时更有效。 还有,应用中的注意事项,比如p必须是质数,否则不能直接用费马小定理。如果a和p不互质,比如a是p的倍数,那么结果会是0,这时候定理不适用,但计算起来更简单。比如5^10 mod5直接是0,不需要用定理。 然后需要整理步骤,可能分成几个方法:直接应用费马小定理,处理非互质情况,以及综合运用其他定理如欧拉定理。每个步骤给出例子,并注意格式中的数学符号要用$符号包裹。 最后,生成相关问题的时候,需要考虑用户可能进一步的问题,比如处理合数模数的情况,或者与其他定理结合使用,或者实际应用中的例子,以及错误处理的情况。比如,如果用户尝试用费马小定理但p不是质数,会发生什么,这时候需要欧拉定理,或者如何判断是否互质等等。</think>费马小定理在模幂运算中的应用可通过以下方法实现: **定理核心条件** 当模数$p$为质数且底数$a$与$p$互质时,定理成立:$$a^{p-1} \equiv 1 \mod p$$ 此时可将指数$e$转换为$k(p-1)+r$形式,其中$r = e \mod (p-1)$ **简化步骤** 将原式$a^e \mod p$转化为: $$a^{e} \equiv a^{k(p-1)+r} \equiv (a^{p-1})^k \cdot a^r \equiv 1^k \cdot a^r \equiv a^r \mod p$$ **计算示例** 计算$3^{100} \mod 7$: 1. 验证条件:$7$是质数,$\gcd(3,7)=1$ 2. 计算指数余数:$100 \mod 6 = 4$(因$7-1=6$) 3. 简化计算:$3^4 = 81 \equiv 81-11×7=4 \mod 7$ **非互质情况处理** 当$a$与$p$不互质时(即$a$是$p$的倍数): $$a^e \equiv 0 \mod p$$ 例如$5^{10} \mod 5$直接等于$0$ **扩展应用** 结合欧拉定理可处理合数模数$n$: $$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n$$ 其中$\varphi(n)$是欧拉函数,当$n$为质数时退化为费马小定理 **验证代码** ```python def mod_exp(a, e, p): if a % p == 0: return 0 reduced_e = e % (p-1) return pow(a, reduced_e, p) # 示例计算 print(mod_exp(3, 100, 7)) # 输出4 ```
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