记录常见数学公式

基本不等式

$$\begin{gathered} |a\pm b|\le |a|+|b| \\ ||a|-|b||\le |a-b| \\ |{\int }_a^{b}f(x)dx|\le {\int }_a^b|f(x)|dx \\ \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},(a,b>0) \\ \sqrt[3]{abc}\le \frac{a+b+c}{3}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}},(a,b,c>0) \\ \frac{1}{1+x}<ln(1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x},(x>0) \end{gathered}$$

和差化积

曲率半径

$$R=|\frac{(1+y^{\prime }{)}^{\frac{3}{2}}}{y^{\prime \prime }}|$$

求导公式（uv）’=uv’+u’v

$$\begin{gathered} (uv{)}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x} \\ =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)-u(x+\Delta x)v(x)+u(x+\Delta x)v(x)}{\Delta x} \\ =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)[v(x+\Delta x)-v(x)]+v(x)[u(x+\Delta x)-u(x)]}{\Delta x} \\ =u{v}^{\prime }+u^{\prime }v \end{gathered}$$

导数公式

$$\begin{array}{rl}& \int \frac{1}{cosx}dx=ln(|secx+tanx|)+C\\ & \int \frac{1}{sinx}dx=ln(|cscx-cotx|)+C\\ & \int secxtanxdx=secx+C\\ & \int cscxcotxdx=-cscx+C\\ & \int co{t}^{2}xdx=-cscx-x+C\\ & \int \frac{1}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C\\ & \int \frac{1}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}ln|\frac{x+a}{x-a}|+C\\ & \int cs{c}^{2}xdx=-cotx+C\end{array}$$