1101 换零钱

本文介绍了一个经典的动态规划问题——零钱兑换。通过优化算法减少时间复杂度,利用二维DP数组解决N元钱兑换成不同面额零钱的问题,并通过空间压缩优化内存使用。

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题目描述


基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 20 难度:3级算法题 收藏 关注
N元钱换为零钱,有多少不同的换法?币值包括1 2 5分,1 2 5角,1 2 5 10 20 50 100元。
例如:5分钱换为零钱,有以下4种换法:
1、5个1分
2、1个2分3个1分
3、2个2分1个1分
4、1个5分
(由于结果可能会很大,输出Mod 10^9 + 7的结果)
Input
输入1个数N,N = 100表示1元钱。(1 <= N <= 100000)
Output
输出Mod 10^9 + 7的结果
Input示例
5
Output示例
4


解题思想


/*
直接从三重循环的,
这里直接优化到2重循环,
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j- k*arr[i]]
优化到
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j - arr[i]]
为什么这样写就可以呢?
第一个表示我使用第i张钞票,所以i--->i-1,并且可以使用k次
第二个表示。我当前只使用一次第i张钞票,但是我还是从0--i张选择,
所以还是i-->i
然后再使用空间压缩即可
*/

代码


#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define mod 1000000007
int dp[100005];
int arr[] = {1,2,5,10,20,50,100,200,500,1000,2000,5000,10000};
int main()
{
    int n ;
    cin >> n;
    int len = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
    dp[0] = 1;
    for(int i=0; i<len; ++i)
        for(int j=arr[i]; j<=n; ++j)
         {
             dp[j] = (dp[j] + dp[j-arr[i]]) % mod;
         }
     cout << dp[n] <<endl;
     return 0;
}

### 动态规划解决换零钱问题 动态规划是一种通过解子问题并存储中间结果来解决问题的方法,适用于具有重叠子结构和最优子结构性质的问题。在换零钱问题中,目标是最少硬币数量满足给定金额 \( \text{amount} \)[^2]。 #### 问题定义 给定一个整数金额 \( \text{amount} \) 和一组硬币面额 \( \text{coins} \),求组该金额所需的最少硬币数量。如果无法凑出指定金额,则返回 -1[^4]。 #### 动态规划的核心思想 动态规划的关键在于构建状态转移方程。设 \( dp[i] \) 表示凑金额 \( i \) 所需的最少硬币数,则有如下关系: \[ dp[i] = \min_{j}(dp[i - coins[j]] + 1), \quad \forall j, \; coins[j] \leq i \] 初始条件为 \( dp[0] = 0 \),因为凑金额 0 不需要任何硬币[^5]。 以下是基于上述原理的 Python 实现代码: ```python def coinChange(coins, amount): # 初始化 dp 数组,大小为 amount+1 并设置初值为无穷大 dp = [float('inf')] * (amount + 1) dp[0] = 0 # 基本情况:凑金额 0 需要 0 枚硬币 # 遍历所有可能的目标金额 for i in range(1, amount + 1): # 对于每种硬币面额,更新 dp[i] for coin in coins: if coin <= i and dp[i - coin] != float('inf'): dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1) # 如果 dp[amount] 仍为 inf,说明无法凑出此金额 return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1 ``` #### 示例运行 假设有硬币面额 `[1, 2, 5]`,目标金额为 `11`,则调用函数的结果为: ```python print(coinChange([1, 2, 5], 11)) # 输出: 3 (即使用两枚 5 元硬币和一枚 1 元硬币) ``` #### 复杂度析 - 时间复杂度:\( O(\text{amount} \times n) \),其中 \( n \) 是硬币种类的数量。 - 空间复杂度:\( O(\text{amount}) \),用于存储 DP 数组中的状态。 ---
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