算法设计周记（四）--回溯

问题导入

规定机器人仅能向下或向右前进，要求计算所有可能路径的总数。

解法分析

当机器人到达某个地点时，它必定是从上方或者左方移动而来，那么到达点[i][j]的路径总数就是到达点[i-1][j]和点[i][j-1]的路径数之和。而当矩阵的行数或列数为1时，路径数也仅为1。我们初始化一个二元数组path，逐步算出路径数path[i-1][j-1]即可。

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        int path[100][100];
        for (int i = 0; i < m; i++) path[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j < n; j++) path[0][j] = 1;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                path[i][j] = path[i-1][j] + path[i][j-1];
            }
        }
        return path[m-1][n-1];
    }
};

该算法空间开销为常量，时间复杂度为O(m*n)，是一种比较常规的解法。

算法优化

现在我们换个角度重新思考题目要求，我们的总步数固定为m+n-2，其中向右m-1步，向下n-1步，所以我们实际上只需要计算组合数即可。

class Solution {
    public:
        int uniquePaths(int m, int n) {
            int N = n + m - 2;
            int k = m - 1;
           double res = 1;
            for (int i = 1; i <= k; i++)
                res = res * (N - k + i) / i;
            return (int)res;
        }
    };

组合数分子分母的乘数实际上数目相同，故套在一个循环内计算。为了避免过程中出现整数除法可能导致的小数部分缺失，将结果预置为double类型进行计算。这种算法的空间消耗极小，是时间复杂度也减少到O(n)，是更加优良的解法。