拓扑学：同一个空间的二个真子集的并的闭包等于闭包的并的问题

题：设$A,B$是空间$X$的子集，证明：$\overline{A\bigcup B}=\overline{A}\bigcup \overline{B}$

证法1：

先证$\overline{A\bigcup B}\subseteq \overline{A}\bigcup \overline{B}$

$\because A\subseteq \overline{A}\bigwedge B\subseteq \overline{B}$

$\therefore A\bigcup B\subseteq \overline{A}\bigcup \overline{B}$

$\therefore \overline{A\bigcup B}\subseteq \overline{\overline{A}\bigcup \overline{B}}=\overline{A}\bigcup \overline{B}$

接着证明$\overline{A}\bigcup \overline{B}\subseteq \overline{A\bigcup B}$

$\because A\subseteq A\bigcup B\bigwedge B\subseteq A\bigcup B$

$\therefore \overline{A}\subseteq \overline{A\bigcup B}\bigwedge \overline{B}\subseteq \overline{A\bigcup B}$

$\therefore \overline{A}\bigcup \overline{B}\subseteq \overline{A\bigcup B}$

综上，$\overline{A\bigcup B}=\overline{A}\bigcup \overline{B}$

证法2:

对$X$中的元素进行划分处理

如果$x\in A\bigvee x\in B\Rightarrow x\in \overline{A}\bigvee x\in \overline{B}$

那么$x\in \overline{A\bigcup B}$

设$x\in X$, $U$为其任一邻域

$1.U$只与$A$或$B$有交

易得$x\in \overline{A}\bigvee x\in \overline{B}\Rightarrow x\in \overline{A\bigcup B}$

从而$x\in \overline{A}\bigcup \overline{B}\bigwedge x\in \overline{A\bigcup B}$

$2.U\bigcap A=\varnothing \bigwedge U\bigcap B=\varnothing$

可知$x\notin \overline{A}\bigcup \overline{B}\bigwedge x\notin \overline{A\bigcup B}$

$3.U\bigcap A̸=\varnothing \bigvee U\bigcap B̸=\varnothing$，即部分邻域只与$A$或$B$有交

由题可设邻域$U$只与$A$有交, 另一邻域$V$只与$B$有交，那么$T=U\bigcap V$也是$x$的一个非空邻域

可知$Z\bigcap A=\varnothing \bigwedge Z\bigcap B=\varnothing$，从而与题设矛盾，因此这类分组为空，即$\varnothing$

4.对于其他的$x$，存在邻域不与$A\bigcup B$有交

可知$x\notin \overline{A}\bigcup \overline{B}\bigwedge x\notin \overline{A\bigcup B}$

综上，只有第一种划分都在等式两边，其他划分都不在其中之一里，因此$\overline{A\bigcup B}=\overline{A}\bigcup \overline{B}$

小结：

第一种证明是从宏观的角度出发，证明起来需要用到已证的定理(如$A\subseteq B\Rightarrow \overline{A}\subseteq \overline{B}$)，但这证明也是很容易，逻辑清楚，干净利落，但是需要证明互相包含(二次包含证明);

第二种证明是从微观的视角出发，对$X$的元素进行划分，其实也是非常的简单，只需要考虑第三种的划分情况，利用交集可证这类划分为$\varnothing$，证明起来只需要考虑特殊情况(第三种)，条理清晰，快捷，但是需要一定的洞察力，这也是我个人的证明方法