[FJOI2016] 建筑师

题目描述

小 Z 是一个很有名的建筑师，有一天他接到了一个很奇怪的任务：在数轴上建 $n$ 个建筑，每个建筑的高度是 $1$ 到 $n$ 之间的一个整数。小 Z 有很严重的强迫症，他不喜欢有两个建筑的高度相同。另外小 Z 觉得如果从最左边（所有建筑都在右边）看能看到 $A$ 个建筑，从最右边（所有建筑都在左边）看能看到 $B$ 个建筑，这样的建筑群有着独特的美感。现在，小 Z 想知道满足上述所有条件的建筑方案有多少种？

如果建筑 i 的左（右）边没有任何建造比它高，则建筑 i 可以从左（右）边看到。两种方案不同，当且仅当存在某个建筑在两种方案下的高度不同。

输入格式

第一行一个整数 $T$，代表 $T$ 组数据。

接下来 $T$ 行，每行三个整数 $n、A、B$。

输出格式

对于每组数据输出一行答案 $\text {mod}$ $10^9+7$。

样例输入

2
3 2 2
3 1 2

样例输出

2
1

数据规模与约定

对于 $10 \%$ 的数据，$1 \le n \le 10$。

对于 $20\%$ 的数据，$1 \le n \le 100$。

对于 $40\%$ 的数据，$1 \le n \le 50000，1 \le T \le 5$。

对于 $70\%$ 的数据，$1 \le n \le 50000，1 \le T \le 2000$。

对于 $100\%$ 的数据，$1 \le n \le 50000，1 \le A、B \le 100，1 \le T \le 200000$。

题解

首先，我们考虑暴力该怎么做。
记 $f_{i,j,k}$ 为 前 $i$ 个中， 从左边能看到 $j$ 个， 从右边能看到 $k$ 个的方案数。
则 $f_{i,j,k} =f_{i−1,j−1,k} + f_{i−1, j, k−1} + f_{i−1, j, k} \times (i − 2)$
因为左右两边是镜像关系，所以我们只要处理出 $f_{i, j}$ 为放了 $i$ 个，从一侧能看到 $j$ 个的方案数即可。
这样就有 $40$ 分了。
然后我们设去掉最高的点之后， 当前从左边能看到的为 $a$ 个， 从右边能看到的为 $b$ 个，我们每次加一条边有三种情况。
第一种情况为 $a + 1$， 第二种情况为 $b + 1$， 第三种情况为 $a, b$ 不变。
对于第一第二种都各有 $1$ 种情况。
对于第三种的可能随着我们选边的进行从 $n - 2$ 递减到 $0$。
则设 $f_{i, j}$ 为选了 $i$ 个点，有 $j$ 个点改变了 $a$ 或 $b$ 的方案数。
则 $f_{i, j} = f_{i - 1, j - 1} + f_{i - 1, j} \times (i - 1)$
然后其中有 $A - 1$ 个点是用来改变 $a$ 的。
则最后的答案为 $C_{A + B - 2} ^{A - 1} \times f_{n - 1, A + B - 2}$
然后这是个斯特林数？？？
嗯没错，就是个第一类斯特林数。
所以答案为 $C_{A + B - 2} ^{A - 1} \times S_{n - 1}^{A + B - 2}$
额说一下为什么是第一类斯特林数吧。
我们设除去最高的点之后，每个点之后被挡住了 $x$ 个点。
则这 $x$ 个点有 $x!$ 种方案。
算上挡住这些点的固定的那一个点，则这些点的方案数即为这些点的圆排列的方案数。
所以题意即为在去掉最高点之后的 $n - 1$ 个数中划分出 $A + B - 2$ 个圆排列并选出 $A - 1$ 个放在左边。
所以答案如上。
不知道有人是怎么打表看出来的，真的是神仙啊。

代码

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>

#define R register
#define ll long long
#define db double
#define sqr(_x) (_x) * (_x)
#define Cmax(_a, _b) ((_a) < (_b) ? (_a) = (_b), 1 : 0)
#define Cmin(_a, _b) ((_a) > (_b) ? (_a) = (_b), 1 : 0)
#define Max(_a, _b) ((_a) > (_b) ? (_a) : (_b))
#define Min(_a, _b) ((_a) < (_b) ? (_a) : (_b))
#define Abs(_x) (_x < 0 ? (-(_x)) : (_x))

using namespace std;

namespace Dntcry
{
    inline int read()
    {
        R int a = 0, b = 1; R char c = getchar();
        for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) (c == '-') ? b = -1 : 0;
        for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) a = (a << 1) + (a << 3) + c - '0';
        return a * b;
    }
    inline ll lread()
    {
        R ll a = 0, b = 1; R char c = getchar();
        for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) (c == '-') ? b = -1 : 0;
        for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) a = (a << 1) + (a << 3) + c - '0';
        return a * b;
    }
    const int Maxn = 50010, Maxl = 210, Mod = 1000000007;
    int T, n, A, B;
    ll S[Maxn][Maxl], C[Maxl][Maxl];
    void init(R int tmp1, R int tmp2)
    {
        for(R int i = 0; i <= tmp1; i++)
        {
            S[i][0] = 0;
            if(i <= tmp2) S[i][i] = 1;
            for(R int j = 1; j <= Min(i, tmp2); j++) 
                S[i][j] = (S[i - 1][j - 1] + (i - 1) * S[i - 1][j] % Mod) % Mod;
        }
        for(R int i = 0; i <= tmp2; i++) 
        {
            C[i][0] = 1;
            for(R int j = 1; j <= i; j++) 
                C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % Mod;
        }
        return ;
    }
    int Main()
    {
        init(50000, 200);
        T = read();
        while(T--)
        {
            n = read(), A = read(), B = read(); 
            printf("%lld\n", S[n - 1][A + B - 2] * C[A + B - 2][A - 1] % Mod);
        }
        return 0;
    }
}
int main()
{
    return Dntcry :: Main();
}