[FJOI2018D1T3]城市路径问题

最新推荐文章于 2023-04-03 19:11:30 发布

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杰杰，一位魔法界的传奇人物，赢得了世界魔法奥林匹克竞赛的女神奖杯，他的愿望是获得一个女性朋友。面对愿望实现后的距离难题，杰杰需要计算从自己所在城市到达女性朋友所在城市的路径数量。在拥有特定入点权和出点权的城市网络中，解决这一问题涉及到矩阵快速幂等高级数学技巧。

Description

杰杰是魔法界的一名传奇人物。他对魔法具有深刻的洞察力，惊人的领悟力，以及令人叹为观止的创造力。自从他从事魔法竞赛以来，短短几年时间，就已经成为世界公认的实力最强的魔法选手之一。更让人惊叹的是，他几乎没有借助外界力量，完全凭借自己的努力达到了普通人难以企及的高度。在最近的世界魔法奥林匹克竞赛上，他使用高超的魔法本领，一路过关斩将，在最后时刻一举击败了前冠军“旅行者”，获得了魔法界最高的荣耀：女神奖杯！女神奖杯可不是一个普通的奖杯，她能够帮杰杰实现一个愿望。

杰杰本着实事求是的态度，审时度势，向女神奖杯提出了自己的愿望：想要一个女性朋友。

杰杰的愿望实现了，可是女性朋友却和他不在一个城市。杰杰想要知道：如果要到达女性朋友的所在城市，有多少种方案供他选择？

杰杰所在的世界有 $n$ 个城市，从 $1$ 到 $n$ 进行编号。任意两个城市都通过有向道路连接。

每个城市 $u$ 有 $k$ 个入点权： $i n [u] [1], i n [u] [2] . . . i n [u] [k]$ ，有 $k$ 个出点权： $o u [u] [1], o u [u] [2] . . . o u [u] [k]$ 。

对于任意两个城市 $(u, v)$ （ $u$ 可以等于 $v$ ）， $u$ 到 $v$ 的道路条数为 $(o u [u] [1] * i n [v] [1] + o u [u] [2] * i n [v] [2] + . . . + o u [u] [k] * i n [v] [k])$ 条。

杰杰有 $m$ 次询问，每次询问由三元组 $(u, v, d)$ 构成，询问从 $u$ 城市通过不超过 $d$ 条道路到达 $v$ 城市的方案数。

为了温柔的杰杰和他的女性朋友的美好未来，帮助他解答这个问题吧。

input

第一行读入两个正整数 $n$ ， $k$ ，含义如题所示。接下来 $n$ 行每行 $2 k$ 个整数，第 $i$ 行代表第 $i$ 个城市，前 $k$ 个整数代表 $i$ 号城市的出点权，后 $k$ 个整数代表i号城市的入点权： $o u [i] [1], o u [i] [2], \dots, o u [i] [k], i n [i] [1], i n [i] [2], \dots, i n [i] [k]$ 。

接下来一个整数 $m$ ，表示 $m$ 个询问。

接下来 $m$ 行，每行三个整数: $u, v, d$ ，询问从 $u$ 城市通过不超过 $d$ 条道路到达 $v$ 城市的方案数。

将每个方案所经过的道路，按顺序写成一个序列（序列可以为空）。两个方案不同，当且仅当他们的道路序列不完全相同。

output

对于每个询问，输出一个方案数。由于答案可能太大，输出其除以 $1000000007$ 后的余数。

Data

对于 $40%40\%$ 的数据， $\le 50,k \le 20, m \le 45$ 。

对于另外 $10%10\%$ 的数据， $\le 1000, k = 1, m \le 45$ 。

对于 $100%100\%$ 的数据， $\le 1000, k \le 20, m \le 50$ 。

Solution

很明显的矩阵快速幂，发现如果是整个矩阵拿去搞的话 $1000^3$ 就爆炸了，考虑可以把转移拆开，只有第一次和最后一次是 $1000×201000\times20$ 的转移，中间的都是 $20×2020\times 20$ 的转移，直接做就好了。

Code

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>

#define R register
#define ll long long
#define db double
#define sqr(_x) (_x) * (_x)
#define Cmax(_a, _b) ((_a) < (_b) ? (_a) = (_b), 1 : 0)
#define Cmin(_a, _b) ((_a) > (_b) ? (_a) = (_b), 1 : 0)
#define Max(_a, _b) ((_a) > (_b) ? (_a) : (_b))
#define Min(_a, _b) ((_a) < (_b) ? (_a) : (_b))
#define Abs(_x) (_x < 0 ? (-(_x)) : (_x))

using namespace std;

namespace Dntcry
{
	inline int read()
	{
		R int a = 0, b = 1; R char c = getchar();
		for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) (c == '-') ? b = -1 : 0;
		for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) a = (a << 1) + (a << 3) + c - '0';
		return a * b;
	}
	inline ll lread()
	{
		R ll a = 0, b = 1; R char c = getchar();
		for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) (c == '-') ? b = -1 : 0;
		for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) a = (a << 1) + (a << 3) + c - '0';
		return a * b;
	}
	const int Maxn = 1010, Maxk = 21, Mod = 1000000007;
	int n, p, m, u, v, d, tmp, in[Maxk][Maxn], out[Maxn][Maxk];
	struct Matrix
	{
		int v[Maxk][Maxk];
		Matrix() { memset(v, 0, sizeof(v)); }
		Matrix operator + (const Matrix &b) const
		{
			R Matrix c;
			for(R int i = 1; i <= p; i++)
				for(R int j = 1; j <= p; j++)
					c.v[i][j] = (v[i][j] + b.v[i][j]) % Mod;
			return c;
		}
		Matrix operator * (const Matrix &b) const
		{
			R Matrix c;
			for(R int i = 1; i <= p; i++)
				for(R int k = 1; k <= p; k++) if(v[i][k])
					for(R int j = 1; j <= p; j++) if(b.v[k][j])
						c.v[i][j] = (c.v[i][j] + 1ll * v[i][k] * b.v[k][j] % Mod) % Mod;
			return c;
		}
	}E, A, Now, Ans;
	void Calc(R int x)
	{
		if(x == 1) { Now = Ans = A; }
		else 
		{
			Calc(x >> 1);
			Ans = Ans * (E + Now), Now = Now * Now;
			if(x & 1) Now = Now * A, Ans = Ans + Now;
		}
	}
	int Main()
	{
		n = read(), p = read();
		for(R int i = 1; i <= n; i++)
		{
			for(R int j = 1; j <= p; j++) out[i][j] = read() % Mod;
			for(R int j = 1; j <= p; j++) in[j][i] = read() % Mod;
		}
		for(R int i = 1; i <= p; i++) E.v[i][i] = 1;
		for(R int i = 1; i <= p; i++)
			for(R int k = 1; k <= n; k++) if(in[i][k])
				for(R int j = 1; j <= p; j++) if(out[k][j])
					A.v[i][j] = (A.v[i][j] + 1ll * in[i][k] * out[k][j] % Mod) % Mod;
		m = read();
		while(m--)
		{
			u = read(), v = read(), d = read();
			tmp = (u == v);
			if(d) for(R int i = 1; i <= p; i++) tmp = (tmp + 1ll * out[u][i] * in[i][v] % Mod) % Mod;
			if(d > 1)
			{
				Calc(d - 1);
				for(R int i = 1; i <= p; i++)
					for(R int j = 1; j <= p; j++)
						tmp = (tmp + 1ll * out[u][i] * in[j][v] % Mod * Ans.v[i][j] % Mod) % Mod;
			}
			printf("%d\n", tmp);
		}
		return 0;
	}
}
int main()
{
	return Dntcry :: Main();
}