最大连续子序列和

问题描述

给定一个序列$a_n$，对于其所有连续子序列$a_i...a_j(0<=i<=j<n)$，求出这样的子序列的和的最大值。如序列 { 4 , − 3 , 5 , − 2 , 6 , − 7 } \{4,-3,5,-2,6,-7\} {4,−3,5,−2,6,−7}的子序列 { 4 , − 3 , 5 , − 2 , 6 } \{4,-3,5,-2,6\} {4,−3,5,−2,6}的和10是所有连续子序列的和中最大的。

线性算法

复杂度$O(n)$
若序列$a_n$中至少有一个正值，则具有最大和的连续子序列不存在小于等于0的前缀，因为若存在，则去除该前缀则和不会变小，导致矛盾。设一个起点，从起点处往后加得的和一旦小于等于0，则将起点移到加的最后一个元素的下一位置。

void get_max_subsequence_sum_linear()
{
    int current_sequence_sum = a[0];
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        if (current_sequence_sum <= 0)
        {
            current_sequence_sum = a[i];	// 从下一个元素开始累加
        }
        else
        {
            current_sequence_sum += a[i];
        }
        if (max_sum < current_sequence_sum)
        {
            max_sum = current_sequence_sum;
        }
    }
}

动规

复杂度$O(n)$
设$p[i-1]$为序列$a_0...a_{i-1}$包含$a_{i-1}$在内的子序列和的最大值，则
1、若$p[i-1]$>0,则$p[i]=p[i-1]+a_i$
2、否则，$p[i]=a_i$
即$p[i]=max(p[i-1]+a_i,a_i)$
由递推式求得所有$p[i]$后，最大的$p[i]$即为最大连续子序列和。

void get_max_subsequence_sum_dp()
{
    int p[n];   // p[i]表示序列a[0]...a[i]包括a[i]在内的最大子序列和
    p[0] = a[0];
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        if (p[i-1] > 0)
        {
            p[i] = p[i-1] + a[i];
        }
        else
        {
            p[i] = a[i];
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (max_sum < p[i])
        {
            max_sum = p[i];
        }   
    }
}

分治

复杂度$O(nlogn)$
将序列等分为左右两块，考虑具有最大和的连续子序列包不包含位于中间的元素：
1、若不包含，则该连续子序列或者在左子序列，或者在右子序列。
2、若包含，则只要从中间分别向左和向右累加，求得最大和left_max_sum和right_max_sum，然后将左最大和与右最大和加起来。
因此最大连续子序列和是这三种情况的结果的最大值。
伪代码如下：

int get_max_subsequence_sum(low, high)	// 包括low，不包括high
{
	if (low == high - 1)
		return a[low];
	sum = 0
	for i from mid to low:
		sum += a[i];
		if (sum > max_left_sum)
			max_left_sum = sum;
	sum = 0;
	for i from mid+1 to high-1:
		sum += a[i];
		if (sum > max_right_sum)
			max_right_sum = sum;
	return max(max_left_sum+max_right_sum,
	 		   max(get_max_subsequence_sum(low,mid), 
	 			   get_max_subsequence_sum(mid+1,high)));
}

C++代码见github

暴力1

复杂度$O(n^2)$

void get_max_subsequence_sum_brute1()
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int sum = 0;
        for (int j = i; j < n; j++)
        {
            sum += a[j];
            if (sum > max_sum)
            {
                max_sum = sum;
            }
        }
    }
}

暴力2

遍历所有子序列，复杂度$O(n^3)$

void get_max_subsequence_sum_brute2()
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = i; j < n; j++)
        {
            int sum = 0;
            for (int k = i; k <= j; k++)
            {
                sum += a[k];
            }
            if (sum > max_sum)
            {
                max_sum = sum;
            }
        }
    }
}