BZOJ3944 Sum 杜教筛

看完题一副不可做的样子 默默点开了题解 发现是杜教筛 就花了半天学习了一下

先说下杜教筛 可以在优于线性的复杂度内求出积性函数的前缀和
下求$\sum_{i=1}^nf(i)$
令$F(i)=\sum_{i=1}^nf(i)$我们可以再引入一个积性函数$g(i)$
则$\sum_{i=1}^nf(i)*g(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(d)*g(\frac i d)$
$=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{\lfloor\frac n i\rfloor}f(j)*g(i)=\sum_{i=1}^ng(i)\sum_{j=1}^{\lfloor\frac n i\rfloor}f(j)=\sum_{i=1}^ng(i)F{\lfloor\frac n i\rfloor}$

其中$\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(d)*g(\frac i d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{\lfloor\frac n i\rfloor}f(j)*g(i)$ 可以理解为考虑每一个$f(i)$的贡献就是所有满足$i*j\le n$的$f(j)*g(i)$

由之前推出的式子 我们可以得到$\sum_{i=1}^nf(i)*g(i)=\sum_{i=1}^ng(i)F{\lfloor\frac n i\rfloor}$
将右边的$i=1$项提出来可以得到$g(1)*F(n)=\sum_{i=1}^nf(i)*g(i)-\sum_{i=2}^ng(i)F{\lfloor\frac n i\rfloor}$
一般我们把恒等函数$I$即$I(x)=1$选做$g(i)$
这样就有$F(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(d)-\sum_{i=2}^nF{\lfloor\frac n i\rfloor}$
所以题中的式子可以化为
$\sum_{i=1}^n \phi(i)=\frac {n*(n+1)} 2-\sum_{i=2}^n\sum_{j=1}^{\lfloor\frac n i\rfloor}\phi(j)$
$\sum_{i=1}^n \mu(i)=1-\sum_{i=2}^n\sum_{j=1}^{\lfloor\frac n i\rfloor}\mu(j)$
然后复杂度是$O(n^{\frac 3 4})$（虽然我不会证） 如果预处理出$n^{\frac 2 3}$以内的$F[i]$ 复杂度就是$O(n^{\frac 2 3})$（虽然我还是不会证）
然后就 可做 啦

#include<bits/stdc++.h>
#define bug(x) cout<<(#x)<<" "<<(x)<<endl
#define ll long long
using namespace std;
const int N=2e6+5;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int T,n,m,cnt,prime[N];
ll phi[N],mu[N],p[N],q[N]; 
bool vis[N];
void pre(){
    for(int i=2;i<=m;i++){
        if(!phi[i]){
            phi[i]=i-1,mu[i]=-1,prime[++cnt]=i; 
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=m;j++){
            if(i%prime[j]){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1),mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
            else {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j],mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=2;i<=m;i++)phi[i]+=phi[i-1],mu[i]+=mu[i-1]; 
}
ll get_p(ll x){
    return (x<=m)?phi[x]:p[n/x];
}
ll get_q(ll x){
    return (x<=m)?mu[x]:q[n/x];
}
void solve(ll x){
    if(x<=m) return;
    int i,j=1,t=n/x;
    if(vis[t]) return;vis[t]=1;
    p[t]=x*(x+1)>>1;q[t]=1;
    while(j<x){
        i=j+1,j=x/(x/i);
        solve(x/i);
        p[t]-=get_p(x/i)*(j-i+1),q[t]-=get_q(x/i)*(j-i+1);
    }
}
int main(){
#ifdef Devil_Gary
    freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
    T=read(),m=2e6;
    phi[1]=mu[1]=1;
    pre();
    while(T--){
        n=read();
        memset(vis,0,sizeof vis);
        if(n<=m) printf("%lld %lld\n",phi[n],mu[n]);
        else solve(n),printf("%lld %lld\n",p[1],q[1]);
    }
}