从二进制角度理解快速乘与快速幂

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本文介绍了从二进制角度理解快速乘法和快速幂的方法，讲解了如何利用二进制拆分进行高效计算。通过十进制与二进制转换，结合位操作，详细阐述了快速乘法的模板，并以3*9为例进行演示。同时，对比快速乘法，快速幂将加法转换为乘法，进一步优化了计算过程。

前提知识：

十进制与二进制相互转换
n&1 （与操作）：判断 n 二进制最右一位是否为 1如为1则返回真
n>>1 （移位操作）： n 右移一位（可理解为删除最后一位，n除以2）

快速乘法模板：

无论是快速乘法 $a * b$ 还是快速幂 $a^{b}$ ，对其进行二进制拆分，把b拆成二进制形式。
$a * b = a * ($ c_k-1 $2^{k-1}+$ c_k-2 $2^{k-2}+$ c_k-3 $2^{k-3}+$ … $+$ c₀ $2^{0}$ )其中c就是二进制位是否为1
例如：3*9
9转换成二进制为1001，那么原式= $3 * 9 = 3 * ($ 1 $2^{3}+$ 0 $2^{2}+$ 0 $2^{1}+$ … $+$ 1 $2^{0}$ )
代码如下：

@Override
	static long mul(long a, long k) {
		//返回的结果
        long ans = 0;
        
        while (k > 0) {
        	//判断二进制的那一位是否为1，若为1则+不为1则跳过
            if ((k & 1) == 1) ans += a;
            //右移操作
            k >>= 1;
            //a自加相当于乘以2
            a += a;
        }
        return ans;
    }

快速幂：

无论是快速乘法 $a * b$ 还是快速幂 $a^{b}$ ，对其进行二进制拆分，把b拆成二进制形式。
$a^{b}=$ a^(c_k-1 $2^{k-1}+$ c_k-2 $2^{k-2}+$ c_k-3 $2^{k-3}+$ … $+$ c₀ $2^{0}$ )其中c就是二进制位是否为1,于快速乘在代码中有所区别的地方在于将加法变成了乘法。

@Override
static double myPow(double x, int n) {
                if(x == 0.0f) return 0.0d;
        long b = n;
        double ans = 1.0;
        //判断n是否小于0,小于0转换成分数
        if (b < 0){
            x = 1/x;
            b = -b;
        }
        while(b >0){
            if((b&1)==1) ans*=x;
            b=b>>1;
            x*=x;
        }
        return ans;
    }