数学建模：多目标规划：ε约束法、 理想点法

一、ε约束法

定义

ε约束法通过将部分目标函数转化为约束条件，保留一个主要目标进行优化。

1、选择一个主要目标 fk​(x) 进行优化。

2、其他目标 fi​(x) 转化为约束 fi​(x)≤εi​，其中 εi​ 是决策者设定的容许阈值。

​​原理​​

​​目标选择​​：决策者选择一个最重要的目标作为优化目标。

约束转换​​：其余目标被限制在某个可接受范围内。

​​参数调整​​：通过调整 εi​，可以探索不同的Pareto最优解。

求解代码

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prob = optimproblem('ObjectiveSense', 'min');
x = optimvar('x', 2, 'LowerBound', 0);

%定义约束
prob.Constraints.con1 = 0.5*x(1) + 0.25*x(2) <= 8;
prob.Constraints.con2 = 0.2*x(1) + 0.2*x(2) <= 4;
prob.Constraints.con3 = x(1) + 5*x(2) <= 72;
prob.Constraints.con4 = x(1) + x(2) >= 10;

%ε约束：污染 ≤ 33
prob.Constraints.epsilon_con = x(1) + 2*x(2) <= 33;

%主目标：利润最大化（转换为最小化 -利润）
prob.Objective = -2*x(1) - 3*x(2);

[sol, fval] = solve(prob);
fprintf('最优解: x1 = %.2f, x2 = %.2f\n', sol.x(1), sol.x(2));
fprintf('利润: %.2f, 污染: %.2f\n', -fval, sol.x(1) + 2*sol.x(2));

二、 理想点法

定义

理想点法通过计算各单目标的最优解（理想点），然后寻找最接近理想点的解。

1. 先分别优化每个单目标，得到理想值 fi∗​。

2. 构造评价函数，最小化目标值与理想值的加权距离（如欧氏距离）。

 

 

求解代码 

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prob = optimproblem('ObjectiveSense', 'min');
x = optimvar('x', 2, 'LowerBound', 0);

%定义约束
prob.Constraints.con1 = 0.5*x(1) + 0.25*x(2) <= 8;
prob.Constraints.con2 = 0.2*x(1) + 0.2*x(2) <= 4;
prob.Constraints.con3 = x(1) + 5*x(2) <= 72;
prob.Constraints.con4 = x(1) + x(2) >= 10;

%计算理想点（单目标优化）
prob1 = prob;
%利润最大化
prob1.Objective = -2*x(1) - 3*x(2); 
[sol1, fval1] = solve(prob1);
%利润理想值
f1_ideal = -fval1; 

prob2 = prob;
%污染最小化
prob2.Objective = x(1) + 2*x(2); 
[sol2, fval2] = solve(prob2);
%污染理想值
f2_ideal = fval2; 

%构造理想点法的二次规划
prob_ideal = prob;
prob_ideal.Objective = (-2*x(1) - 3*x(2) - (-53))^2 + (x(1) + 2*x(2) - 10)^2;

[sol_ideal, fval_ideal] = solve(prob_ideal);
fprintf('最优解: x1 = %.2f, x2 = %.2f\n', sol_ideal.x(1), sol_ideal.x(2));
fprintf('利润: %.2f, 污染: %.2f\n', 2*sol_ideal.x(1) + 3*sol_ideal.x(2), sol_ideal.x(1) + 2*sol_ideal.x(2));