数学建模：非线性规划：二次规划问题

一、定义

如果规划模型的目标函数是决策向量的二次函数，约束条件都是线性的，那么这个模型称为二次规划（QP）模型。二次规划模型的一般形式为

 

二、性质

凸性判定准则

二次规划问题的凸性完全由Hessian矩阵H决定：

​​严格凸QP​​：H正定（所有特征值>0），有唯一全局最优解

​​凸QP​​：H半正定（所有特征值≥0），可能有多个最优解

​​非凸QP​​：H不定，存在多个局部最优解

判定条件

二次规划的最优解必须满足​​KKT条件​​：

原始可行性​​：x满足所有约束条件

对偶可行性​​：拉格朗日乘子非负

互补松弛条件​​：乘子与约束的乘积为零

平稳性条件​​：∇f(x) + Aᵀλ = 0

三、内点法求解

代码

clear
clc

%生成数据
%资产数量
nAssets = 5;             
%生成收益率数据
returns = randn(100, nAssets);
%预期收益率
mu = mean(returns)';    
%协方差矩阵
Sigma = cov(returns);        
%目标收益率
targetReturn = 0.05;