基础知识:
- 狄利克雷卷积:
对于两个数论函数
f
与
记做:
(f∗g)(n)=h(n)=∑d|nf(d)g(nd)
。
μ
与
φ
的性质:另一篇博客
杜教筛:
这个东西主要是对于一些数论积性函数的前缀和时用的。其主要是利用狄利克雷卷积将一个大问题转化为小型规模,达到降低复杂度的作用。
- 通用方式:
求
∑ni=1f(i)
的值。
设
首先构造函数 g 与其
那么考虑 f 与
那么
然而证不来复杂度,反正现在是 O(n34) ,还可以预处理出 S 的前
例题:
- BZOJ 3944 ——Sum
首先考虑筛
φ
。构造一个恒等函数
I=1
,那么
phi
与
I
狄利克雷卷积就是
接着考虑筛
μ
。同样构造恒等函数
I=1
,那么卷积起来就是
[n=1]
,所以左边就是
1
,右边同理筛。
(暂时就写到这里)
小结一下:
杜教筛实际上是巧用狄利克雷卷积来到达优化的效果,重点是与原函数卷积的函数
1.元函数e(n)=[n=1]。
2.恒等函数I(n)=1。
3.单位函数id(n)=n。