学习笔记第三十九节：快速沃尔什变换（FWT）

正题

      我们学会了快速傅立叶变换，狄利克雷卷积，现在我们来解决一下快速沃尔什变换。

      它主要是解决这样的问题的：。

      也就是说

      其中那个你看不懂的符号指的是三则运算的其中一种：or,and,xor。

      怎么做?

      我们来模仿一下解决多项式乘法的过程，我们先是把原数组做一次傅立叶变换，然后再相乘，最后再做一次逆变换。

      是否可以把这种方法运用到这里呢?

      显然是可以的：我们设一个数组，它表示A数组FWT变换之后的结果。

      我们要使得，其中乘法是按位相乘。

      然后我们做一次逆变换即可。

      那么这个应该怎么找呢？

      三种运算就有三种

  or

       我们设

       其中+表示按位相加，二元组表示前后相接，也就是说其中0，1表示二进制下标的第一位恰好分为两部分。

       发现，当我们使得tf这样定义的时候，。

       为什么?

       首先来看，，明显的当我们把A,B拆开时，贡献到的只有，而贡献到的就是。也就是说。（因为是或运算啊

       接着我们就可以知道

      

      为什么可以拆？因为考虑每个多个数组 加起来和分开 并不影响 每个位置上面的数对后面的影响，具体可以试一下手算。
      再看，这个按位相乘又等于什么呢？相当于前面和前面的相乘，后面的和后面的相乘。

      

      我们知道当只有一个数的时候，。

      然后我们就可以知道，只要我们能满足当

       

       时，那么我们就可以证明。

       把上面的四条式子换到上面的式子中，可以发现上面所化简的，是相等的。

       所以我们就证明了当时，是成立的。

        接下来我们就可以用的时间处理出来再逐位相乘得到。

        要求C还不简单吗？

        考虑我们怎么从A变为的，是不是先从小的开始，然后将左边的值加到右边。

        我们要变回去，就从最大的区间开始，用用右边的左边的即可。

    and

        那么与运算其实和或运算差不多。。

        求逆运算的过程类似。关于证明可以自己推导，十分简单。

    xor

         抑或运算有点复杂，但是有公式就很好推导。

         是不是很鬼畜，然而求逆也是非常简单的，自己推导。

     最后，求逆的证明有的博客写得很复杂，其实根本不需要，就相当于将加的减回去即可。

     

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

const int maxn=17;
long long a[1<<maxn],b[1<<maxn],c[1<<maxn],inv;
int limit,n;
const long long mod=998244353;

long long ksm(long long x,long long t){
	long long tot=1;
	while(t){
		if(t&1) (tot*=x)%=mod;
		(x*=x)%=mod;
		t/=2;
	}
	return tot;
}

void tf_or(long long *now){
	for(int l=2;l<=limit;l<<=1)
		for(int i=0;i<limit;i+=l)
			for(int x=i+l/2;x<i+l;x++)
				(now[x]+=now[x-l/2])%=mod;
}

void utf_or(long long *now){
	for(int l=limit;l>=2;l>>=1)
		for(int i=0;i<limit;i+=l)
			for(int x=i+l/2;x<i+l;x++)
				(now[x]+=mod-now[x-l/2])%=mod;
}

void tf_and(long long *now){
	for(int l=2;l<=limit;l<<=1)
		for(int i=0;i<limit;i+=l)
			for(int x=i;x<i+l/2;x++)
				(now[x]+=now[x+l/2])%=mod;
}

void utf_and(long long *now){
	for(int l=limit;l>=2;l>>=1)
		for(int i=0;i<limit;i+=l)
			for(int x=i;x<i+l/2;x++)
				(now[x]+=mod-now[x+l/2])%=mod;
}

void tf_xor(long long *now){
	long long a,b;
	for(int l=2;l<=limit;l<<=1)
		for(int i=0;i<limit;i+=l)
			for(int x=i,y=i+l/2;y<i+l;x++,y++)
				a=now[x],b=now[y],now[x]=(a+b)%mod,(now[y]=a-b+mod)%=mod;
}

void utf_xor(long long *now){
	long long a,b;
	for(int l=limit;l>=2;l>>=1)
		for(int i=0;i<limit;i+=l)
			for(int x=i,y=i+l/2;y<i+l;x++,y++)
				a=now[x],b=now[y],now[x]=(a+b)%mod*inv%mod,now[y]=(a-b+mod)%mod*inv%mod;
}

void FWT_or(){
	tf_or(a);tf_or(b);
	for(int i=0;i<limit;i++) c[i]=a[i]*b[i]%mod;
	utf_or(c);utf_or(a);utf_or(b);
}

void FWT_and(){
	tf_and(a);tf_and(b);
	for(int i=0;i<limit;i++) c[i]=a[i]*b[i]%mod;
	utf_and(c);utf_and(a);utf_and(b);
}

void FWT_xor(){
	tf_xor(a);tf_xor(b);
	for(int i=0;i<limit;i++) c[i]=a[i]*b[i]%mod;
	utf_xor(c);utf_xor(a);utf_xor(b);
}

int main(){
	inv=ksm(2,mod-2);
	scanf("%d",&n);limit=1<<n;
	for(int i=0;i<limit;i++) scanf("%lld",&a[i]);
	for(int i=0;i<limit;i++) scanf("%lld",&b[i]);
	FWT_or();for(int i=0;i<limit;i++) printf("%lld ",c[i]);printf("\n");
	FWT_and();for(int i=0;i<limit;i++) printf("%lld ",c[i]);printf("\n");
	FWT_xor();for(int i=0;i<limit;i++) printf("%lld ",c[i]);printf("\n");
}