[WC2011]最大XOR和路径，洛谷P4151，线性基+Dfs

最新推荐文章于 2022-10-11 18:54:55 发布

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本文介绍了一种利用图论和线性基数据结构求解特定路径异或和问题的方法。通过构建DFS树并处理返祖环，文章详细解释了如何高效地找到从节点1到节点n的路径异或和的最大值。

正题

这一题挺水的？

直接随便求一条1到n的路径异或和，建出Dfs树，每一条返祖边与两点之间路径异或和组成环，扔进线性基，最后维护一遍即可。

首先证明为什么只用扔返祖环和为什么可以扔环？

先解决第二个问题，每一个环肯定可以从1走到其中的某个点上，遍历一遍这个环，在从开始遍历的那个点回去。

那么1到这个点就被遍历了两遍，异或和为0，剩下的环算了一次异或值。

然后解决第一个问题，因为不是返祖环的环可以有返祖环异或而成。很明显，自己画图即可。

那么我们证明了只有环才能带来价值。

最后，为什么随便选一条路径？

因为如果有多条路径，那么他们两两成环，肯定可以异或出来另一条路径。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

int n,m;
struct edge{
	int y,next;
	long long c;
}s[200010];
int first[50010],len=0;
bool tf[50010];
long long dis[50010];
long long p[65];

void ins(int x,int y,long long c){
	len++;
	s[len]=(edge){y,first[x],c};first[x]=len;
}

void insert(long long x){
	for(int i=63;i>=0;i--)
		if(x>>i){
			if(p[i]) x^=p[i];
			else {p[i]=x;break;}
		}
}

void dfs(int x,long long t){
	tf[x]=true;dis[x]=t;
	for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].next)
		if(tf[s[i].y]) insert(t^s[i].c^dis[s[i].y]);
		else dfs(s[i].y,dis[x]^s[i].c);
}

int main(){
	scanf("%d %d",&n,&m);
	int x,y;
	long long c;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d %d %lld",&x,&y,&c);
		ins(x,y,c);
		ins(y,x,c);
	}
	dfs(1,0);
	long long ans=dis[n];
	for(int i=63;i>=0;i--) ans=max(ans,ans^p[i]);
	printf("%lld",ans);
}