[NOI2005]维护数列，洛谷P2042，splay+lazy

最新推荐文章于 2023-08-29 08:00:00 发布

原创最新推荐文章于 2023-08-29 08:00:00 发布 · 423 阅读

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本文介绍如何使用伸展树实现区间操作，包括区间赋值、区间反转和区间最大值求解等高级操作，并详细解释了相关代码实现。

正题

是不是觉得标题好奇特，我们想想区间操作怎么用伸展树来实现。

首先我们把左端点的前一个移到根，再把右端点的后一个移到根的右儿子，那么现在根的右儿子的左子树就是我们要求的区间。如下图，我们要求的是[2,4]。那么就把1移到根，5移到右儿子即可。

我们现在已经知道要处理的是哪一棵子树了，我们就可以在这棵子树的根节点打一个标记，表示这棵子树将要被做什么操作。当然，我们要加上一个最前节点和最后节点，来保证整个区间操作时有前一个和后一个。

make_same：

void make_same(int x,int tt,int c){
    int ip1=findip(x);//我们先把x的前一个旋到根（其实找的是x-1这个点，但是因为有一个最前节点，所以要往后挪一位）
    int ip2=findip(x+tt+1);//找出右节点的下一个
    splay(ip1,0);splay(ip2,ip1);//并旋到根
    int ip3=s[ip2].son[0];
    s[ip3].c=c;//初始化，先把该子树的根节点搞定
    s[ip3].same=c;
    s[ip3].res=0;//翻转标记可有可无，因为整段区间都是一样的
    s[ip3].sum=c*s[ip3].num;//初始化sum
    if(c>=0) s[ip3].lmax=s[ip3].rmax=s[ip3].mmax=s[ip3].sum;//后面再讲。
    else s[ip3].lmax=s[ip3].rmax=0,s[ip3].mmax=s[ip3].same;
    update(ip2);update(ip1);//更新父节点和根
}

reverse：

void reverse(int x,int tt){
    int ip1=findip(x);//也是先把区间子树处理出来
    int ip2=findip(x+tt+1);
    splay(ip1,0);splay(ip2,ip1);
    int ip3=s[ip2].son[0];
    if(s[ip3].same==-1e9){//如果这段区间一样，那么打不打标记都无所谓
    	swap(s[ip3].son[0],s[ip3].son[1]);//交换左右儿子，打标记意味着我做了我的子树没做
   	swap(s[ip3].lmax,s[ip3].rmax);//后面再说
   	s[ip3].res^=1;//翻转一遍
    }
	update(ip2);update(ip1);//更新父节点和根
}

这里是看下面：

区间求和相当于上面的操作也变得容易了，那么max_sum怎么做呢emm？

对于每个节点，和他所管理的一个区间（子树），都维护一个lmax和rmax.

分别代表着前缀最大值或后缀最大值，当为负数时都为0（不选）。

那么一个节点所管理区间的区间最大值就是：

1.左儿子的最大值。

2.右儿子的最大值。

3.左儿子的rmax+该节点值+右儿子的lmax.

s[x].mmax=max(s[s[x].son[0]].mmax,max(s[s[x].son[1]].mmax,s[s[x].son[0]].rmax+s[x].c+s[s[x].son[1]].lmax));

同时我们要更新当前区间的最大前缀和最大后缀。

1.选左儿子的最大前缀。

2.选全部左儿子+自己+右边的最大前缀

这样可以包含所有情况。

后缀也是一样的

    s[x].lmax=max(s[s[x].son[0]].lmax,s[s[x].son[0]].sum+s[x].c+s[s[x].son[1]].lmax);
    s[x].rmax=max(s[s[x].son[1]].rmax,s[s[x].son[1]].sum+s[x].c+s[s[x].son[0]].rmax);

那我们什么时候才去更新儿子呢？

很明显是我们需要经过当前点的时候，我们再找一个点的位置的时候，路上经过的点就是splay的时候可能会改变的点哦~

所以我们需要在findip的时候往下推即可

void pushdown(int x){
    if(s[x].same!=-1e9){
        int l=s[x].son[0],r=s[x].son[1];
        if(l!=0) s[l].c=s[l].same=s[x].same;
        if(r!=0) s[r].c=s[r].same=s[x].same;
        if(l!=0) s[l].sum=s[l].num*s[l].c;
        if(r!=0) s[r].sum=s[r].num*s[r].c;
        if(s[x].same>=0){
            if(l!=0) s[l].mmax=s[l].lmax=s[l].rmax=s[l].sum;
            if(r!=0) s[r].mmax=s[r].lmax=s[r].rmax=s[r].sum;
        }
        else{
            if(l!=0) s[l].lmax=s[l].rmax=0,s[l].mmax=s[l].same;
            if(r!=0) s[r].lmax=s[r].rmax=0,s[r].mmax=s[r].same;
        }
        s[x].same=-1e9;
    }
    if(s[x].res!=0){
        s[s[x].son[0]].res^=1;s[s[x].son[1]].res^=1;
        s[x].res=0;
        swap(s[s[x].son[0]].lmax,s[s[x].son[0]].rmax);
        swap(s[s[x].son[1]].lmax,s[s[x].son[1]].rmax);
        swap(s[s[x].son[0]].son[0],s[s[x].son[0]].son[1]);
        swap(s[s[x].son[1]].son[0],s[s[x].son[1]].son[1]);
    }
}

int findip(int x){
    int now=root;
    while(1){
    	pushdown(now);
        if(x<=s[s[now].son[0]].num) now=s[now].son[0];
        else if(s[s[now].son[0]].num+1<x) x=x-s[s[now].son[0]].num-1,now=s[now].son[1];
        else break;
    }
    return now;
}

最后，一开始建树的时候要二分建树来保证自己不被卡常emmm。

void build(int x,int y,int t){
    int mid=(x+y)/2;
    s[t].c=a[mid];
    s[t].same=-1e9;s[t].res=0;
    s[t].son[0]=s[t].son[1]=0;s[t].num=0;s[t].sum=a[mid];s[t].mmax=-1e9;
    s[t].lmax=s[t].rmax=0;
    int op;
    if(x<mid) {
        op=f.front();f.pop();
        s[t].son[0]=op;
        s[op].f=t;
        build(x,mid-1,op);
    }
    if(mid<y){
        op=f.front();f.pop();
        s[t].son[1]=op;
        s[op].f=t;
        build(mid+1,y,op);
    }
    update(t);
}

s[0].mmax=a[0]=a[n+2]=1e9;

当然为了保证我们加进去的点不被选中，要加上一句话。（就这样被卡了2天）

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;

int n,m;
int a[1000017];
struct tree{
    int son[2],lmax,rmax,mmax,f,sum,num,c;
    int res,same;
}s[1000017];
int root=0;
queue<int> f;

void update(int x){
    s[x].num=s[s[x].son[0]].num+s[s[x].son[1]].num+1;
    s[x].sum=s[s[x].son[0]].sum+s[s[x].son[1]].sum+s[x].c;
    s[x].lmax=max(s[s[x].son[0]].lmax,s[s[x].son[0]].sum+s[x].c+s[s[x].son[1]].lmax);
    s[x].rmax=max(s[s[x].son[1]].rmax,s[s[x].son[1]].sum+s[x].c+s[s[x].son[0]].rmax);
    s[x].mmax=max(s[s[x].son[0]].mmax,max(s[s[x].son[1]].mmax,s[s[x].son[0]].rmax+s[x].c+s[s[x].son[1]].lmax));
}

void pushdown(int x){
    if(s[x].same!=-1e9){
        int l=s[x].son[0],r=s[x].son[1];
        if(l!=0) s[l].c=s[l].same=s[x].same;
        if(r!=0) s[r].c=s[r].same=s[x].same;
        if(l!=0) s[l].sum=s[l].num*s[l].c;
        if(r!=0) s[r].sum=s[r].num*s[r].c;
        if(s[x].same>=0){
            if(l!=0) s[l].mmax=s[l].lmax=s[l].rmax=s[l].sum;
            if(r!=0) s[r].mmax=s[r].lmax=s[r].rmax=s[r].sum;
        }
        else{
            if(l!=0) s[l].lmax=s[l].rmax=0,s[l].mmax=s[l].same;
            if(r!=0) s[r].lmax=s[r].rmax=0,s[r].mmax=s[r].same;
        }
        s[x].same=-1e9;
    }
    if(s[x].res!=0){
        s[s[x].son[0]].res^=1;s[s[x].son[1]].res^=1;
        s[x].res=0;
        swap(s[s[x].son[0]].lmax,s[s[x].son[0]].rmax);
        swap(s[s[x].son[1]].lmax,s[s[x].son[1]].rmax);
        swap(s[s[x].son[0]].son[0],s[s[x].son[0]].son[1]);
        swap(s[s[x].son[1]].son[0],s[s[x].son[1]].son[1]);
    }
}

int findip(int x){
    int now=root;
    while(1){
    	pushdown(now);
        if(x<=s[s[now].son[0]].num) now=s[now].son[0];
        else if(s[s[now].son[0]].num+1<x) x=x-s[s[now].son[0]].num-1,now=s[now].son[1];
        else break;
    }
    return now;
}

void build(int x,int y,int t){
    int mid=(x+y)/2;
    s[t].c=a[mid];
    s[t].same=-1e9;s[t].res=0;
    s[t].son[0]=s[t].son[1]=0;s[t].num=0;s[t].sum=a[mid];s[t].mmax=-1e9;
    s[t].lmax=s[t].rmax=0;
    int op;
    if(x<mid) {
        op=f.front();f.pop();
        s[t].son[0]=op;
        s[op].f=t;
        build(x,mid-1,op);
    }
    if(mid<y){
        op=f.front();f.pop();
        s[t].son[1]=op;
        s[op].f=t;
        build(mid+1,y,op);
    }
    update(t);
}

void rotate(int x,int w){
    int f=s[x].f,ff=s[f].f;
    s[f].son[1-w]=s[x].son[w];
    if(s[x].son[w]!=0) s[s[x].son[w]].f=f;
    if(s[ff].son[0]==f) s[ff].son[0]=x;
    else s[ff].son[1]=x;
    s[x].f=ff;
    s[f].f=x;
    s[x].son[w]=f;
    update(f);
    update(x);
}

void splay(int x,int tar){
    while(s[x].f!=tar){
        int f=s[x].f,ff=s[f].f;
        if(ff==tar){
            if(s[f].son[0]==x) rotate(x,1);
            else rotate(x,0);
        }
        else{
            if(s[ff].son[0]==f){
                if(s[f].son[0]==x) {rotate(f,1);rotate(x,1);}
                else {rotate(x,0);rotate(x,1);}
            }
            else{
                if(s[f].son[0]==x) {rotate(x,1);rotate(x,0);}
                else {rotate(f,0);rotate(x,0);}
            }
        }
    }
    if(tar==0) root=x;
}

void insert(int x,int tot){
    int op=f.front();
    f.pop();
    build(1,tot,op);
    int ip1=findip(x+1);
    int ip2=findip(x+2);
    splay(ip1,0);
    splay(ip2,ip1);
    s[ip2].son[0]=op;
    s[op].f=ip2;
    update(ip2);
    update(ip1);
}

void recycle(int x){
    if(s[x].son[0]) recycle(s[x].son[0]);
    if(s[x].son[1]) recycle(s[x].son[1]);
    f.push(x);
    s[x].son[0]=s[x].son[1]=0;s[x].num=s[x].sum=0;
    s[x].c=0;s[x].f=0;s[x].same=-1e9;s[x].mmax=-1e9;
}

void del(int x,int tt){
    int ip1=findip(x);
    int ip2=findip(x+tt+1);
    splay(ip1,0);splay(ip2,ip1);
    recycle(s[ip2].son[0]);
    s[ip2].son[0]=0;
    update(ip2);
    update(ip1);
}

void make_same(int x,int tt,int c){
    int ip1=findip(x);
    int ip2=findip(x+tt+1);
    splay(ip1,0);splay(ip2,ip1);
    int ip3=s[ip2].son[0];
    s[ip3].c=c;
    s[ip3].same=c;
    s[ip3].res=0;
    s[ip3].sum=c*s[ip3].num;
    if(c>=0) s[ip3].lmax=s[ip3].rmax=s[ip3].mmax=s[ip3].sum;
    else s[ip3].lmax=s[ip3].rmax=0,s[ip3].mmax=s[ip3].same;
    update(ip2);update(ip1);
}

void reverse(int x,int tt){
    int ip1=findip(x);
    int ip2=findip(x+tt+1);
    splay(ip1,0);splay(ip2,ip1);
    int ip3=s[ip2].son[0];
    if(s[ip3].same==-1e9){
    	swap(s[ip3].son[0],s[ip3].son[1]);
   		swap(s[ip3].lmax,s[ip3].rmax);
   		s[ip3].res^=1;
    }
	update(ip2);update(ip1);
}

int get_tot(int x,int tt){
    int ip1=findip(x);
    int ip2=findip(x+tt+1);
    splay(ip1,0);splay(ip2,ip1);
    update(ip2);
    update(ip1);
    return s[s[ip2].son[0]].sum;
}

int main(){
	s[0].mmax=-1e9;
    s[0].lmax=s[0].rmax=s[0].sum=s[0].num=0;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    a[1]=a[n+2]=-1e9;
    for(int i=1;i<=1000002;i++) f.push(i);
    for(int i=2;i<=n+1;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    int op=f.front();
    root=op;
    f.pop();
    build(1,n+2,op);
    char c[20];
    int posi,tot,cc;
    for(int i=1;i<=m;i++){
    	scanf("%s",c);
        if(!(c[0]=='M' && c[1]=='A' && c[2]=='X')) scanf("%d %d",&posi,&tot);
        if(c[0]=='I'){
            for(int j=1;j<=tot;j++)
                scanf("%d",&a[j]);
            insert(posi,tot);
        }
        else if(c[0]=='D') del(posi,tot);
        else if(c[0]=='M' && c[1]=='A' && c[2]=='K'){
            scanf("%d",&cc);	
            make_same(posi,tot,cc);
        }
        else if(c[0]=='R') reverse(posi,tot);
        else if(c[0]=='G') printf("%d\n",get_tot(posi,tot));
        else {
        	//printf("%d %d\n",s[s[root].son[0]].mmax,s[s[root].son[1]].mmax);
			printf("%d\n",s[root].mmax);
        }
    }
}