powerful number，积性函数求解前缀和的特别方法

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这篇博客探讨了 Powerful Number（每个质因子的指数至少为2的数）的概念，并给出了计算 1 到 n 中所有 Powerful Number 的数量公式。通过狄利克雷卷积简化了计算某个积性函数前缀和的问题，使用了数论技巧和快速求前缀和的方法。文章以 C++ 代码为例展示了具体实现。

powerful number指的就是每一种质因子的指数都 $≥2\geq2$ 的数。
powerful number一定能被表示为 $a^2b^3$ 的形式，当指数为偶数的情况下可以放到前面，当指数为奇数的时候可以拆一个3出来，然后把剩下的放到前面去。
这样就可以得知1到n的powerful number的个数为 $∑i=1n(ni2)13\sum_{i=1}^{\sqrt n} (\frac n {i^2})^{\frac 1 3}$ ，积一下分就可以知道是 $O(n)O(\sqrt n)$
我们如何利用这个条件呢？
若要求一个积性函数 $F(pk)=p⌊k2⌋F(p^k)=p^{\lfloor \frac k 2 \rfloor}$ 的前缀和，可以构造一个质数位置上与原来F相同的一个积性函数 $G (x) = 1$ ，并令 $F = G * H$ 。
可以发现， $H (1) G (p) + H (p) G (1) = F (p) = 1$ ，可得 $1 + H (p) = 1, H (p) = 0$
由于 $H$ 又是个积性函数，那么可以知道H只有powerful number的位置上有值，所以可以将F的前缀和简化为两者狄利克雷卷积的形式，即：
$\sum_{i=1}^n F(i)=\sum_{i \ is\ a\ powerful\ number \in [1,n]} H(i)\sum_{j=1}^{\frac n i} G(j)$
那么就可以暴力枚举每一个powerful number进行计算了，同时需要快速求出 $G$ 的前缀和。
借用zzq的代码作为示范：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD=1e9+7;
#define SZ 10000099
bool np[SZ];
int ph[SZ],ps[SZ/10],pn;
void shai()
{
    ph[1]=1;
    for(int i=2;i<SZ;++i)
    {
        if(!np[i]) ps[++pn]=i,ph[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=pn&&i*ps[j]<SZ;++j)
        {
            np[i*ps[j]]=1;
            if(i%ps[j]==0)
            {
                ph[i*ps[j]]=ph[i]*ps[j];
                break;
            }
            ph[i*ps[j]]=ph[i]*(ps[j]-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<SZ;++i)
        ph[i]=(ph[i-1]+ph[i])%MOD;
}
ll n,u,s[1005];
ll S2(ll a)
{
    ll b=a+1;
    if(a&1) b>>=1; else a>>=1;
    return (a%MOD)*(b%MOD)%MOD;
}
int h[100099][66],d[100099];
ll ans=0;
void dfs(ll x,ll v,int w)
{
    ans=(ans+v*((n/x<SZ)?ph[n/x]:s[n/(n/x)]))%MOD;
    if(w>1&&x>n/ps[w]/ps[w]) return;
    for(int s=w;s<=pn;++s)
    {
        if(s>1&&x*ps[s]*ps[s]>n) break;
        ll y=x*ps[s];
        for(int j=1;y<=n;++j,y*=ps[s])
        {
            if(d[s]<j)
            {
                ++d[s];
                ll F=ps[s]^j,G=ps[s]-1;
                for(int k=1;k<=j;++k)
                    F=(F-G%MOD*h[s][j-k])%MOD,G*=ps[s];
                h[s][j]=F;
            }
            if(!h[s][j]) continue;
            dfs(y,v*h[s][j]%MOD,s+1);
        }
    }
}
int main()
{
    for(int i=0;i<=100000;++i)
        h[i][0]=1;
    shai(); cin>>n;
    u=1; while(n/u>=SZ) ++u;
    for(int i=u;i>=1;--i)
    {
        //s[i]=phi(n/i)
        ll t=n/i,a=2,b,p; s[i]=S2(t);
        for(;a<=t;a=b+1)
            p=t/a,b=t/p,
            s[i]=(s[i]-(b-a+1)%MOD*((p<SZ)?ph[p]:s[b*i]))%MOD;
    }
    dfs(1,1,1);
    ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;
    cout<<ans<<"\n";
}