【888题秋招篇】剑指大厂offer第七题，带你用枚举优化方法秒杀腾讯校招真题-最大公约数，斩获大厂年薪60wOffer

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原题

腾讯校招真题最大公约数

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问题分析

这道题的核心在于通过有限的 $k$ 次操作，最大化两个整数 $a$ 和 $b$ 的最大公约数 (GCD, Greatest Common Divisor)。具体来说，问题要求每次可以将 $a$ 或 $b$ 增加1，然后问在进行 $k$ 次操作后，如何使 $a$ 和 $b$ 的 GCD 最大。GCD 的性质决定了当两个数之间差距越小且有更多的公共因子时，GCD 越大。因此，最优策略是通过调整 $a$ 和 $b$ 的值来找到差距最小且GCD最大的情况。

在实际操作中，可以枚举每一种可能的操作组合，即 $a+i$ 和 $b+(k-i)$，其中 $i$ 代表对 $a$ 进行的自增次数，$k-i$ 代表对 $b$ 进行的自增次数。对每种组合计算 GCD 并取最大值即为所求。

为了优化计算过程，可以利用欧几里得算法快速计算两个数的 GCD，从而确保在枚举所有可能操作组合时，效率仍然较高。

思路分析

这道题的解法主要依赖枚举优化和GCD的性质。具体实现思路如下：

1. 枚举 $i$ 的取值范围从 $0$ 到 $k$，表示对 $a$ 进行了 $i$ 次自增。
2. 对于每个 $i$，计算 $a+i$ 和 $b+(k-i)$ 的 GCD。
3. 在所有枚举的结果中，取最大的 GCD 即为答案。
   这个算法的核心是利用了GCD的性质，以及对 $k$ 次操作进行枚举。尽管最坏情况下需要枚举 $k+1$ 种情况，但由于 $k$ 的最大值为 $100,000$，而 GCD 的计算效率很高 (时间复杂度为 $O(\log (\min (a,b)))$)，因此整体算法在常数因子较低的情况下仍然可以通过。

算法的时间复杂度为 O ( T × k × log ⁡ ( min ⁡