概率机器人（Probability Robotics）笔记 Chapter 3: 高斯滤波器（Gaussian Filters）

高斯滤波器

1. 简介

本章讲解一系列递归状态估计器，统称高斯滤波器。
高斯滤波器是最早的连续贝叶斯滤波器的计算量可实现版本。

高斯滤波器的思想是所有的置信度都是多元高斯。分布表达式：
p(x)=det⁡(2πΣ)−frac12exp⁡{ −12(x−μ)TΣ−1(x−μ)}p(x)=\det (2\pi\Sigma)^{-frac{1}{2}}\exp\{-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\}p(x)=det(2πΣ)−frac12exp{ −21​(x−μ)TΣ−1(x−μ)}
这个分布是由前两阶矩来描述的，即均值$\mu$与方差$\Sigma$。
$\Sigma$是一个二次、对称、半正定矩阵，维度是状态变量维度的平方。

高斯后验的后果是，高斯是单模型(unimodel)的，也就是有单个最大值；
因此只能用来做tracking，而不适用于全局定位之类的问题。

高斯有两种表达：矩表达和权威（canonical）表达，功能相同，但算法计算不同。

2. 卡尔曼滤波器

2.1 线性高斯系统

卡尔曼滤波器可用于线性系统中的滤波和预测，适用于连续状态，不适用于离散空间。
使用矩来表达后验：均值${\mu }_t$和方差${\Sigma }_t$。

需要满足三个条件，后验才是高斯分布：

1. 状态转移概率$p(x_t|u_t,x_{t-1})$是线性函数加高斯噪声（简称线性高斯），即
   $x_t=A_t{x}_{t-1}+B_t{u}_t+{ϵ}_t$,
   其中$x_t,u_t$分别是维度为n和m的列向量，$A_t,B_t$为系数阵，
   ${ϵ}_t$是零均值高斯分布的随机向量，方差记为$R_t$。
   后验高斯的均值为$A_t{x}_{t-1}+B_t{u}_t$，方差为$R_t$。
2. 测量概率$p(z_t|x_t)$是线性高斯，即$z_t=C_t{x}_t+{\delta }_t$；
   其中δt\delta_tδ