矩阵乘法&矩阵快速幂

最新推荐文章于 2025-02-20 15:41:56 发布

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#矩阵乘法 #快速幂 #斐波那契

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本文介绍如何使用矩阵快速幂方法优化斐波那契数列及广义斐波那契数列的计算，并提供了一段C++代码示例来求解广义斐波那契数列中某项除以特定数后的余数。

刚好在复习dp，顺便把矩阵快速幂加速递推给复习了。

首先矩阵乘法：f[i][j]= $\sum_{k=1}^{sizeA[][K]/sizeB[K][]}$ A[i][k]*B[k][j]

我们观察斐波那契数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]，我们构造矩阵乘法

A:[ fn-2 fn-1]

B:[0 1]

[1 1]

C=A*B=[fn-1 fn-2+fn-1]=[fn-1 fn]

所以对于C[fn-1 fn]，不难得出C=[f1 f2]*B^(n-2)，而B是预先设置好的矩阵，于是就可以用上矩阵快速幂。

栗一、广义斐波那契数列

Description

广义的斐波那契数列是指形如a(n)=p*a(n-1)+q*a(n-2)的数列。今给定数列的两系数p和q，以及数列的最前两项a(1)和a(2)，另给出两个整数n和m，试求数列的第n项a(n)除以m的余数。

Input

输入包含一行6个整数。依次是p,q,a(1),a(2),n,m，其中在p,q,a(1),a(2)整数范围内，n和m在长整数范围内。

Output

输出包含一行一个整数，即a(n)除以m的余数。

Sample Input

1 1 1 1 10 7

Sample Output

【样例说明】数列第10项是55，除以7的余数为6。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Inc(i,L,r) for(register int i=(L);i<=(r);++i)
#define Red(i,r,L) for(register int i=(r);i>=(L);--i)
#define int long long
int p,q,n,m,f1,f2;
struct Martix{
	int a[10][10];
	inline void init(bool flag){//可构造单位矩阵 
		memset(a,0,sizeof(a));
		if(flag)Inc(i,1,4)a[i][i]=1;
	}
};
inline Martix mul(Martix a,Martix b,int I,int J,int K,int Mod){
	Martix ans;
	ans.init(0);
	Inc(i,1,I)Inc(j,1,J)Inc(k,1,K)(ans.a[i][j]+=(a.a[i][k]*b.a[k][j]))%=Mod;
	return ans;
}
inline int quick_pow(int lm,int Mod){
	Martix a;
	a.a[1][1]=0;
	a.a[1][2]=q;
	a.a[2][1]=1;
	a.a[2][2]=p;//构造矩阵A 
	Martix ans;
	ans.init(1);
	while(lm){
		if(lm&1)ans=mul(ans,a,2,2,2,Mod);
		a=mul(a,a,2,2,2,Mod);
		lm>>=1;
	}
	return (ans.a[1][2]*f1+ans.a[2][2]*f2)%Mod;
}
signed main(){
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&q,&f1,&f2,&n,&m);
	if(n==1)cout<<f1%m<<"\n";
	else if(n==2)cout<<f2%m<<"\n";
	else cout<<quick_pow(n-2,m)<<"\n";
	return 0;
}