矩阵乘法&矩阵快速幂

【蓝桥杯】矩阵乘法(矩阵快速幂,二维数组函数参数引用&) 题目描述 给定一个N阶矩阵A,输出A的M次幂(M是非负整数) 例如: A = 1 2 3 4 A的2次幂 7 10 15 22 输入 第一行是一个正整数N、M(1< =N< =30, 0< =M< =5),表示矩阵A的阶数和要求的幂数 接下来N行,每行N个绝对值不超过10的非负整数,描述矩阵A的值 输出 输出共N行,每行N个整数,表示A的M次幂所对应的矩阵。相邻的数之间用一个空格隔开 样例输入 2 2 1 2 3 4 样例输出 7 10 15 22 思路 Cij=∑p=0 阅读详情

刚好在复习dp,顺便把矩阵快速幂加速递推给复习了。

首先矩阵乘法:f[i][j]=\sum_{k=1}^{sizeA[][K]/sizeB[K][]}A[i][k]*B[k][j]

我们观察斐波那契数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],我们构造矩阵乘法

A:[ fn-2 fn-1]

B:[0 1]

    [1 1]

C=A*B=[fn-1 fn-2+fn-1]=[fn-1 fn]

所以对于C[fn-1 fn],不难得出C=[f1 f2]*B^(n-2),而B是预先设置好的矩阵,于是就可以用上矩阵快速幂。

栗一、广义斐波那契数列

Description

广义的斐波那契数列是指形如a(n)=p*a(n-1)+q*a(n-2)的数列。今给定数列的两系数p和q,以及数列的最前两项a(1)和a(2),另给出两个整数n和m,试求数列的第n项a(n)除以m的余数。

Input

输入包含一行6个整数。依次是p,q,a(1),a(2),n,m,其中在p,q,a(1),a(2)整数范围内,n和m在长整数范围内。

Output

输出包含一行一个整数,即a(n)除以m的余数。

Sample Input

1 1 1 1 10 7

Sample Output

6

【样例说明】 数列第10项是55,除以7的余数为6。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Inc(i,L,r) for(register int i=(L);i<=(r);++i)
#define Red(i,r,L) for(register int i=(r);i>=(L);--i)
#define int long long
int p,q,n,m,f1,f2;
struct Martix{
	int a[10][10];
	inline void init(bool flag){//可构造单位矩阵 
		memset(a,0,sizeof(a));
		if(flag)Inc(i,1,4)a[i][i]=1;
	}
};
inline Martix mul(Martix a,Martix b,int I,int J,int K,int Mod){
	Martix ans;
	ans.init(0);
	Inc(i,1,I)Inc(j,1,J)Inc(k,1,K)(ans.a[i][j]+=(a.a[i][k]*b.a[k][j]))%=Mod;
	return ans;
}
inline int quick_pow(int lm,int Mod){
	Martix a;
	a.a[1][1]=0;
	a.a[1][2]=q;
	a.a[2][1]=1;
	a.a[2][2]=p;//构造矩阵A 
	Martix ans;
	ans.init(1);
	while(lm){
		if(lm&1)ans=mul(ans,a,2,2,2,Mod);
		a=mul(a,a,2,2,2,Mod);
		lm>>=1;
	}
	return (ans.a[1][2]*f1+ans.a[2][2]*f2)%Mod;
}
signed main(){
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&q,&f1,&f2,&n,&m);
	if(n==1)cout<<f1%m<<"\n";
	else if(n==2)cout<<f2%m<<"\n";
	else cout<<quick_pow(n-2,m)<<"\n";
	return 0;
}

栗二、连分数

有时间再写吧~

快速矩阵乘法算法实践指南 快速乘法是基于传统乘法方法,旨在减少乘法操作数量的一系列算法。快速乘法的关键在于识别并利用矩阵乘法中可以提前计算和重用的部分,从而减少整体的乘法操作次数。例如,Strassen算法是一种著名的快速乘法算法,它将原本的四个子矩阵乘法减小为七个,降低了乘法的总体数量,以此来提升计算效率。快速乘法通常使用递归分治的策略,将大矩阵分解为更小的子矩阵进行运算,然后通过特定的合并策略得到最终结果。 阅读详情

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B. Palm&quot;, title = &quot;Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data&quot;, year = &quot;2012&quot;,}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. 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0.10, &#39;Too big error&#39;);```Example: Stacked Auto-Encoders---------------------```matlabfunction test_example_SAEload mnist_uint8;train_x = double(train_x)/255;test_x = double(test_x)/255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit SDAE and use it to initialize a FFNN% Setup and train a stacked denoising autoencoder (SDAE)rand(&#39;state&#39;,0)sae = saesetup([784 100]);sae.ae{1}.activation_function = &#39;sigm&#39;;sae.ae{1}.learningRate = 1;sae.ae{1}.inputZeroMaskedFraction = 0.5;opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;sae = saetrain(sae, train_x, opts);visualize(sae.ae{1}.W{1}(:,2:end)&#39;)% Use the SDAE to initialize a FFNNnn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = &#39;sigm&#39;;nn.learningRate = 1;nn.W{1} = sae.ae{1}.W{1};% Train the FFNNopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er &lt; 0.16, &#39;Too big error&#39;);```Example: Convolutional Neural Nets---------------------```matlabfunction test_example_CNNload mnist_uint8;train_x = double(reshape(train_x&#39;,28,28,60000))/255;test_x = double(reshape(test_x&#39;,28,28,10000))/255;train_y = double(train_y&#39;);test_y = double(test_y&#39;);%% ex1 Train a 6c-2s-12c-2s Convolutional neural network %will run 1 epoch in about 200 second and get around 11% error. %With 100 epochs you&#39;ll get around 1.2% errorrand(&#39;state&#39;,0)cnn.layers = { struct(&#39;type&#39;, &#39;i&#39;) %input layer struct(&#39;type&#39;, &#39;c&#39;, &#39;outputmaps&#39;, 6, &#39;kernelsize&#39;, 5) %convolution layer struct(&#39;type&#39;, &#39;s&#39;, &#39;scale&#39;, 2) %sub sampling layer struct(&#39;type&#39;, &#39;c&#39;, &#39;outputmaps&#39;, 12, &#39;kernelsize&#39;, 5) %convolution layer struct(&#39;type&#39;, &#39;s&#39;, &#39;scale&#39;, 2) %subsampling layer};cnn = cnnsetup(cnn, train_x, train_y);opts.alpha = 1;opts.batchsize = 50;opts.numepochs = 1;cnn = cnntrain(cnn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = cnntest(cnn, test_x, test_y);%plot mean squared errorfigure; plot(cnn.rL);assert(er&lt;0.12, &#39;Too big error&#39;);```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand(&#39;state&#39;,0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er &lt; 0.08, &#39;Too big error&#39;);%% ex2 neural net with L2 weight decayrand(&#39;state&#39;,0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er &lt; 0.1, &#39;Too big error&#39;);%% ex3 neural net with dropoutrand(&#39;state&#39;,0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er &lt; 0.1, &#39;Too big error&#39;);%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand(&#39;state&#39;,0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = &#39;sigm&#39;; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er &lt; 0.1, &#39;Too big error&#39;);%% ex5 plotting functionalityrand(&#39;state&#39;,0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = &#39;softmax&#39;; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er &lt; 0.1, &#39;Too big error&#39;);%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand(&#39;state&#39;,0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = &#39;softmax&#39;; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er &lt; 0.1, &#39;Too big error&#39;);```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free &quot;Bitdeli Badge&quot;)

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