线性基学习笔记

一、基础概念：

1）矩阵性质

1、结合性：(AB)C=A(BC)

2、分配率：(A+B)C=AC+BC，C(A+B)=CA+CB

一般来说，矩阵不满足交换律

2）线性相关

1、n维线性空间：将其看做一个集合，其中的每一个元素均使用n个相互独立的自由变量表示，如坐标系可看做二维线性空间

2、线性组合：百科定义很权威。粗略理解就是n维线性空间中的一个元素向量a可由一个向量集表示

3、线性相关性：对于一个n维向量元素集合S{a1,a2……,am}，若存在等式a1k1*a2k2……amkm=0（k1……km不全为0），则称A线性相关，反之线性无关

4、等价向量组：对于向量组A：a1,a2,……,am、B：b1,b2,……,bn，如果A能被B线性表示且B能被A线性表示，则向量组A、B等价

等价向量组定理：若A可由B线性表示且m>n，则A线性相关

推论1：若A可由B线性表示且m<=n，则A线性无关

推论2：两个线性无关的等价向量组，包含个数相同的向量

证明：推论2可由推论1取一次反得到，推论1可由等价向量组定理得到，等价向量组定理证明：

不妨考虑这样一个矩阵 k1=a1z1+……+anzn

                                   k2=b1z1+……+bnzn

                                   ……

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