线性基学习笔记

一、基础概念：

1）矩阵性质

1、结合性：(AB)C=A(BC)

2、分配率：(A+B)C=AC+BC，C(A+B)=CA+CB

一般来说，矩阵不满足交换律

2）线性相关

1、n维线性空间：将其看做一个集合，其中的每一个元素均使用n个相互独立的自由变量表示，如坐标系可看做二维线性空间

2、线性组合：百科定义很权威。粗略理解就是n维线性空间中的一个元素向量a可由一个向量集表示

3、线性相关性：对于一个n维向量元素集合S{a1,a2……,am}，若存在等式a1k1*a2k2……amkm=0（k1……km不全为0），则称A线性相关，反之线性无关

4、等价向量组：对于向量组A：a1,a2,……,am、B：b1,b2,……,bn，如果A能被B线性表示且B能被A线性表示，则向量组A、B等价

等价向量组定理：若A可由B线性表示且m>n，则A线性相关

推论1：若A可由B线性表示且m<=n，则A线性无关

推论2：两个线性无关的等价向量组，包含个数相同的向量

证明：推论2可由推论1取一次反得到，推论1可由等价向量组定理得到，等价向量组定理证明：

不妨考虑这样一个矩阵 k1=a1z1+……+anzn

                                   k2=b1z1+……+bnzn

                                   ……

                                   km=m1z1+……+mmzn

m>n且存在一组解z1……zn可将k1……km表示出来，由高斯消元及矩阵的性质，求解后必然会行全零，这意味着某一项常数能被消除，再转化为向量组，显而易见~

高斯消元相关

5、极大线性无关组：

对于向量组A：a1……an，若存在一组ai……ar(r-i<n)线性无关且ai……ar+1线性相关，则称ai……ar为A的一组极大线性无关组，通俗的说，极大线性无关组ai……ar能表示向量组A中的其它任意元素且本身线性无关

ps：若A线性无关，则其极大线性无关组就是其本身

极大无关组性质：

1）向量组A的任意极大线性无关组与A等价

2）向量组A的任意两个极大线性无关组等价

推论：一个向量组A的任意两个极大线性无关组等价等大

6、向量组的秩：A的极大线性无关组的大小称为向量组A的秩，记作r（A）

性质：向量组A可由向量组B线性表示，则r（A）<=r（B）

证明：不妨设A、B均线性无关，如果A能被B线性表示且r（A）>r（B），再次结合高斯消元与矩阵相关知识，易证无解

二、线性基

前置知识：

1、张成：对于S，所有，S中所有元素任意组合后的xor和的结果所组成的集合

2、拟阵：贪心的数学基础= =一篇不错的博客

ps：其实不必纠结于拟阵理论证明，我们只需记住线性基解决的问题大都可以按位贪心（由拟阵证明）即可

3、我们将线性相关引入张成集合，对于S中的一个元素k，可由其余元素xor和得到，则张成集合S线性相关，相对的，称为线性无关。

结论：去掉k后，张成集合S不变

线性基定义：

我们称B为S的线性基，当B满足下列条件时：

1）S是B集合张成的子集

2）B线性无关

显然，一个集合的极大线性无关组，就是该集合的线性基

有了线性基之后，xor问题似乎就没那么难了

下面给出操作模板：

#define Inc(i,L,r) for(register int i=(L);i<=(r);++i)
#define Red(i,r,L) for(register int i=(r);i>=(L);--i)
#define ll long long
struct Linear_Basis{
	int cnt,flag;//flag判断是否有0 
	ll p[64],New[64]; 
	inline bool insert(ll k){//插入操作 
		Red(i,62,0){//如果不明白xor…… 
			if(!(k>>i))continue;
			if(!p[i]){p[i]=k;break;}
			k^=p[i];
		}
		return k>0;
	}
	inline void construct(){//重构线性基，在查询第k大时使用 
		Red(i,62,0)Red(j,i-1,0)if((p[i]>>j)&1)p[i]^=p[j];//根据xor性质，我们只用保留当前位上的1 
		Inc(i,0,62)if(p[i])New[cnt++]=p[i];
	}
	inline ll Query(ll kth){//查询第k大 
		if((1ll<<cnt)-1+flag<kth)return -1;//注意longlong 
		if(kth==1&&flag)return 0;
		kth-=flag;
		ll ret=0;
		Inc(i,0,cnt)if((kth>>i)&1)ret^=New[i];
		return ret;
	}
	inline ll Query_Max(){//求最大值 
		ll ret=0;
		Red(i,62,0)if((ret^p[i])>ret)ret^=p[i];//拟阵证明，按位贪心 
		return ret;
	}
};
inline void Merge(int x,int y){//将x，y线性基合并 
	Inc(i,0,62)x insert(y [i]);//暴力插入 
}