HDU 3836 强联通分量

本文探讨了如何通过强联通分量的概念解决图论中的问题,具体包括缩点处理、判断图是否联通及形成强联通分量的方法。

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题意:就是问你最少连多少边之后所有点都可以互相到达

思路:问的就是强联通的含义,先进行强联通分量进行缩点,如果强联通分量为1,恭喜你图已经联通,输出0即可,否则我们剩下的点是强联通缩点之后的点,其实我们就是可以将这些点当成要联通的点就行了,而现在已经缩过点了,所以我们这个残图只要满足每个点都有出度和入度就可以形成强联通分量为1的图,但是这个判断前提必须是已经缩过点之后的残图,现在就找那个点的出度为0和那个点的入度为0,取最大即可,因为如果出度为0的点多,我可以将这些点连上那些入度为0的点,肯定能满足条件,反之也是一个道理,所以取最大

#include <vector>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=20010;
vector<int>G[maxn];
vector<int>rG[maxn];
vector<int>vs;
bool used[maxn];
int cmp[maxn],V,E;
void addedge(int from,int to){
    G[from].push_back(to);
    rG[to].push_back(from);
}
void dfs(int v){
    used[v]=1;
    for(unsigned int i=0;i<G[v].size();i++){
        if(!used[G[v][i]]) dfs(G[v][i]);
    }
    vs.push_back(v);
}
void rdfs(int v,int k){
    used[v]=1;
    cmp[v]=k;
    for(unsigned int i=0;i<rG[v].size();i++){
        if(!used[rG[v][i]]) rdfs(rG[v][i],k);
    }
}
int scc(){
    memset(used,0,sizeof(used));
    vs.clear();
    for(int v=0;v<V;v++) if(!used[v]) dfs(v);
    memset(used,0,sizeof(used));
    int k=0;
    for(int i=vs.size()-1;i>=0;i--) if(!used[vs[i]]) rdfs(vs[i],k++);
    return k;
}
int A[50010],B[50010];
bool vis[maxn],vis1[maxn];
int main(){
    while(scanf("%d%d",&V,&E)!=-1){
        for(int i=0;i<maxn;i++){
            G[i].clear();
            rG[i].clear();
        }
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(vis1,0,sizeof(vis1));
        for(int i=0;i<E;i++){
            scanf("%d%d",&A[i],&B[i]);
            addedge(A[i]-1,B[i]-1);
        }
        int t=scc();
        if(t==1){
            printf("0\n");
            continue;
        }
        int ans1=0,ans2=0;
        for(int i=0;i<E;i++){
            if(cmp[A[i]-1]!=cmp[B[i]-1]){
                if(vis[cmp[A[i]-1]]==0){
                    vis[cmp[A[i]-1]]=1;
                    ans1++;
                }
                if(vis1[cmp[B[i]-1]]==0){
                    vis1[cmp[B[i]-1]]=1;
                    ans2++;
                }
            }
        }
        int ans=max(t-ans1,t-ans2);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

### 使用Tarjan算法计算强连通分量数量 #### 算法原理 Tarjan算法通过深度优先搜索(DFS)遍历有向图中的节点,记录访问顺序和低链值(low-link value),从而识别出所有的强连通分量。当发现一个节点的访问序号等于其最低可达节点编号时,表明找到了一个新的强连通分量。 #### 时间复杂度分析 该方法的时间效率取决于存储结构的选择。对于采用邻接表表示的稀疏图而言,整体性能更优,能够在线性时间内完成操作,即O(n+m)[^4];而针对稠密图则可能退化至平方级别(O(n²))。 #### Python代码实现 下面给出一段Python程序用于演示如何基于NetworkX库构建并处理带权无环图(DAG),进而求解其中存在的全部SCC及其总数: ```python import networkx as nx def tarjan_scc(graph): index_counter = [0] stack = [] lowlinks = {} index = {} result = [] def strongconnect(node): # Set the depth index for this node to be the next available incrementing counter. index[node] = index_counter[0] lowlinks[node] = index_counter[0] index_counter[0] += 1 stack.append(node) try: successors = graph.successors(node) except AttributeError: successors = graph.neighbors(node) for successor in successors: if successor not in lowlinks: strongconnect(successor) lowlinks[node] = min(lowlinks[node], lowlinks[successor]) elif successor in stack: lowlinks[node] = min(lowlinks[node], index[successor]) if lowlinks[node] == index[node]: scc = set() while True: current_node = stack.pop() scc.add(current_node) if current_node == node: break result.append(scc) for node in graph.nodes(): if node not in lowlinks: strongconnect(node) return result if __name__ == "__main__": G = nx.DiGraph() # Create a directed graph object using NetworkX library edges_list = [(1, 2),(2, 3),(3, 1)] # Define edge list according to sample input data from hdu1269 problem statement[^5] G.add_edges_from(edges_list) components = tarjan_scc(G) print(f"Number of Strongly Connected Components found: {len(components)}") ``` 此段脚本定义了一个名为`tarjan_scc()`的功能函数接收网络对象作为参数,并返回由集合组成的列表形式的结果集,每个子集中包含了构成单个SCC的所有顶点。最后部分展示了创建测试用DAG实例的过程以及调用上述功能获取最终答案的方式。
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