MathBase 工程数学基础（第一讲-第五讲）

关于工程数学基础的笔记

• Author : Dargon
• Note date: 2020/10/14
• 学习视频来源 国防科技大学 MOOC

第二讲，线性空间的基与维数

• 记录自己应该记到的一些知识笔记要点

1，对于复数域的情况：

1. 当数域F 为实数域，线性空间 C 是二维的
2. 当数域F 为复数域，线性空间 C 是一维的

进行简单证明：

1. 线性空间 C 的基为: $$[1,i=\sqrt{-1}]$$ 对任意的实数x1,x2都有 若是$x1\times 1+x2\times i=0$ 也只有x1 =x2 =0 时才成立
   可以推导出，基 中两列元素为线性无关，线性空间里面的任意（for all）都能用$[1,i=\sqrt{-1}]$ 来表示，则此时线性空间所对应的基为$[1,i=\sqrt{-1}]$，也即是C
   为二维空间
2. 当数域F 为复数域，则设基为[1],对于任意的$[a+bi]\times 1=0$,则[1] 线性无关为 线性空间C 的一个基，C是一维空间的。

2，transition matrix

1. 同一向量在不同基下的坐标是不同的
   $$\left[\begin{array}{c}{\beta }_1{\beta }_2\cdots {\beta }_n\end{array}\right]={\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_n\times \left|\begin{array}{cccc}{P}_{1}1& P_{1}2& \cdots & P_{1}n\\ P_{2}1& P_{2}2& \cdots & P_{2}n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ P_{n}1& P_{n}2& \cdots & P_{n}n\end{array}\right|$$
   其中对于矩阵 P 的每一列都对应于 ${\beta }_1$ 在基$\alpha$ 下的坐标，作为参数就可以直接理解为坐标（其中每一列都是一一对应的和$\beta$
   对于矩阵 P的要求：
   (1) P是满秩的；
   (2) p是$\alpha$ 到$\beta$的转置矩阵 transition matrix
   则P（inverse）是$\beta$ 到$\alpha$ 的转置矩阵$\alpha =\beta \times P^{-1}$ $\beta$ 到$\alpha$ 分别是对应的两组线性空间里面的基
   (3) 若$\alpha ={\beta }_{\alpha }\times x$ can deduce $\alpha ={\beta }_B{P}^{-}1\times x$ they point that is correspond respectively.

第三讲，子空间

1，零空间和列空间

1. A是给定的m行n列的实矩阵 记
   N ( A ) = { x ∈ R n ∣ A x = 0 } N(A) =\{x\in\R^n|Ax =0\} N(A)={ x∈Rn∣Ax=0}
   R ( A ) = { A x ∣ x ∈ R n } R(A) =\{Ax | x\in\R^n\} R(A)={ Ax∣x∈Rn}
   可以看出N（A）是R（A）的一个特殊群体，当Ax =0的时候
   对于N(A)为$R^n$的一个子空间，称为A的零空间
   对于R(A)为$R^m$的一个子空间，称为A的列空间
   列空间的解释，A是一个（m 行 n列 ）乘以 x （n 行 1列）=结果 （m 行 1列）所对应的是 $R^m$空间的
   $$d$$