LMIs in Control Systems 笔记
关于LMIs in Control System 的学习笔记记录
- Author：Dargon
- Note date：2020/12/02
- 授课教师：段广仁 院士
- 学习视频来源：
哈工大超星 B站 - 课程地址：
https://www.bilibili.com/video/BV1jt411U7xj?p=1 - 课程用书：
LMIs in Control Systems Analysis,Design and Applications
Chapter 02：Technical Lemmas
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一些理论上的准备工作例如 Schur Complement lemma
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在设计Robust Hinfinity 和H2控制器的消去 Uncertain parameters F矩阵的时候，应用在Conditions： F T × F ≤ I F^T\times F\leq I FT×F≤I,可以消去未知矩阵F，利用一个constant 来替换F
存在 F T × F ≤ I F^T\times F\leq I FT×F≤I,使得对于
Y + H F E + E T F T H T < 0 Y +HFE +E^TF^TH^T < 0 Y+HFE+ETFTHT<0
convert into
Y + δ H H T + δ − 1 E T E < 0 Y +\delta HH^T +\delta^{-1}E^TE <0 Y+δHHT+δ−1ETE<0 -
Project Lemma (投影定理)也是经常用到的
-
Parseval Lemma 频域和时域里面互换，可以很明显的是，Laplace变换是保范数变换，不改变
长度的大小，在H2范数的推理中，得到很大的应用。
Chapter 03：Review of Optimization Theory
- 关于Convex Optimization 的 review and property
关键问题是，我们最终可以把一个LMI区域上的问题转变到 区域的边界的有限问题
无穷的问题-> 有限值求解的问题
Chapter 04：Stability Analysis
Hurwitz and Schur stability
- 对于连续时间 continuous-time system，去利用Lyapunov theroy
Stability Conditions ：
P > 0 P > 0 P>0
A T P + P A < 0 A^TP +PA <0 ATP+PA<0
利用Transform function G ( s ) = C S I − A − 1 B + D G(s) =C {SI -A}^{-1}B +D G(s)=CSI−A−1B+D
若A稳定（系统稳定）则需要A 的特征值（系统的极点）全部位于复平面的左半平面，则可以稳定
- 对于离散时间 discrete-time system，去利用Lyapunov theroy
Stability Conditions ：
P > 0 P > 0 P>0
A P A T − P < 0 APA^T -P <0 APAT−P<0
Apply Lyapunov Lemma into aforemenbtioned and converted into matrix ineuqalities.
[ − P P A T A P − P ] (1) \begin{bmatrix} -P & PA^T \\ AP & -P \end{bmatrix} \tag{1} [−PAPPAT−P](1)
[ − P A P P A T − P ] (1) \begin{bmatrix} -P & AP\\ PA^T & -P \end{bmatrix} \tag{1} [−PPATAP−P](1)
需要 all the eigenvalues of the matrix A are located within the unit circle of the complex plane.需要保证在单位圆里面
D-Stability
A generalization of Hurwitz and Schur stability
区域是对于矩阵的特征值应该放置的区域且保持稳定
-
Strip region（条状区域） D = H α , β = x + j y ∣ − β < x < − α D =H_{\alpha ,\beta} = {x +jy | -\beta < x <-\alpha} D=Hα,β=x+jy∣−β<x<−α
Stability Conditions:
P > 0 P > 0 P>0
A T P + P A + 2 α P < 0 A^TP +PA +2\alpha P <0 ATP+PA+2αP<0
A T P + P A + 2 β P > 0 A^TP +PA +2\beta P >0 ATP+PA+2βP>0
Obviously, 对于 α \alpha α 是左边的区域，就是< 0，对于 β \beta β 是右边的区域, 就是 > 0 -
Disk region(圆盘区域) 由Schur Stability 可知下面矩阵应该成立
[ − r P q P + A P q P + P A T − P ] (1) \begin{bmatrix} -rP & qP +AP\\ qP +PA^T & -P \end{bmatrix} \tag{1} [−rPqP+PATqP+AP−P](1)
此时，相当于矩阵的负定，负定条件需要一阶顺序主子式 <0 ,二阶顺序主子式 > 0 成立，引出此时的矩阵稳定条件
Stability Conditions:
P > 0 P > 0 P>0
( A + q I )
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