动态规划之0-1背包问题

一般提问方式：给定背包容量V和n个物品，每个物品的重量和价值分别为w和。选择若干物品放入背包，使得总价值最大且总重量不超过V。（白话：一个包只能装一定的物品，如何分配这些空间来装下最多价值的物品，就像高智商小偷进攻博物馆）

动态规划解决 0-1 背包问题的核心思想是利用“阶段性最优解的重叠子问题”，通过构建状态和递推公式，将一个复杂问题分解为多个小问题求解。

1. 问题描述

0-1 背包问题是一个经典的优化问题，要求从 n 个物品中选取一些放入容量为 V 的背包，使得总重量不超过 V 的前提下，总价值最大。

对于每个物品 i：

• 重量
• 价值

选择规则：

• 每个物品只能选一次（选或不选，即 0 或 1）。
• 背包的总重量不超过 V。

目标：

  ，使得 

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2. 动态规划的思想

(1) 状态定义

状态是动态规划的核心，用来表示问题的子结构。

定义 表示：

• 在前 i 个物品中，
• 背包容量为 j 时，
• 可以获得的最大价值。

最终目标：

f[n][V]即在考虑所有物品时，背包容量为 V 的最大价值。

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(2) 转移方程

动态规划的递推关系基于是否选择当前物品 i：

1. 不选择第 i 个物品：
   最大价值相当于只考虑前 i−1 个物品时的结果，即：

   

2. 选择第 iii 个物品（前提是 ）：
   最大价值等于前 i−1 个物品在剩余容量时的最大价值，加上当前物品的价值：

   

综合考虑两种情况，取最大值：

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(3) 边界条件

1. 当背包容量为 0 时，最大价值为 0： 
2. 当没有物品时，最大价值为 0：

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(4) 状态表的填充

动态规划从小问题开始解决，逐步填充状态表：

• 行表示考虑的物品数量 i 。
• 列表示背包容量 j 。

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3. 动态规划解决流程

1. 初始化状态表：

   • 构建一个大小为(n+1)×(V+1) 的二维表 f。
   • 初始化第一行和第一列为 0（无物品或容量为 0 时最大价值为 0）。

2. 逐步填表：

   • 遍历物品 i 从 1 到 n 。
   • 遍历容量 j 从 1 到 V 。
   • 根据转移方程更新 。

3. 获取最终结果：

   • 为最大价值。

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4. 示例讲解

示例问题

背包容量 V=8，有 4 个物品：

• 物品 1：重量 2，价值 3
• 物品 2：重量 3，价值 4
• 物品 3：重量 4，价值 5
• 物品 4：重量 5，价值 6

状态表填充

构建状态表 f[i][j]（行表示物品数，列表示容量）：

i\j	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0（无物品）	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1（物品 1）	0	0	3	3	3	3	3	3	3
2（物品 2）	0	0	3	4	4	7	7	7	7
3（物品 3）	0	0	3	4	5	7	8	9	9
4（物品 4）	0	0	3	4	5	7	8	9	10

• 最大价值为 10。
• 最优选择：选择物品 2 和物品 3（总重量为 3+4=7，总价值为 4+6=10）。

5. 时间与空间复杂度

1. 时间复杂度：

   • 遍历 n 个物品，每个物品遍历容量 V。
   • 时间复杂度为 。

2. 空间复杂度：

   • 状态表大小为 。
   • 优化：可以用一维数组优化空间至 。

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6. 总结

1. 动态规划通过构建状态表和递推公式，避免了暴力枚举所有可能组合的时间浪费。
2. 递推公式体现了“选择与不选择”的决策过程，确保每个状态的最优解。
3. 通过自底向上的方式，将复杂问题逐步分解，最终求得全局最优解。

def knapsack(V,items):
    n = len(items)
    print(n)

    f=[]
    for i in range(n+1):
        row = [0]*(V+1)
        f.append(row)

    #w为重量，v为价值，n为物品数量，V为背包容量
    for i in range(0,n):
        for j in range(0,V+1):
            w = items[i][0]
            v = items[i][1]
            if w > j:
                f[i+1][j]=f[i][j]
            else:
                f[i+1][j]=max(f[i][j],f[i][j-w]+v)

    return f[n][V]




if __name__ == '__main__':
    V = int(input("请输入背包容量："))
    n = int(input("请输入物品数量："))
    items=[]
    for i in range(n):
        w = int(input(f"第{i+1}个物品的重量："))
        v = int(input(f"第{i+1}个物品的价值："))
        items.append((w,v))

    result=knapsack(V,items)
    print(f"背包最大价值为：{result}")

运行实例结果如下：

与手写状态表结果一致。