数学与算法的巧妙运用：解决数论、数组操作与树感染问题-优快云博客

这篇博客探讨了三类问题的解决方案：一是利用数论性质找到四个数使得它们的最大公约数等于它们的最小公倍数；二是通过贪心策略和模拟操作解决数组克隆与交换次数最小化问题；三是针对树形结构的病毒感染问题，通过贪心算法确定最短感染时间。这些问题展示了数学和算法在实际问题解决中的智慧和效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

A GCD vs LCM(数论 + 思维)

Description:

求4个和为n的数要求 gcd(a, b) == lcm(c, d)

Solution:

令lcm(c, d) = 1 则 c = 1 d = 1

因为x取任意正整数 gcd(1, x) = 1始终成立

令gcd(a, b) = 1 则 a = 1 b = n - 3

Code:

void solve()
{
	int n; cin >> n;
	cout << 1 << ' ' << n - 3 << ' ' << 1 << ' ' << 1 << endl;
}

B Array Cloning Technique(模拟)

Description:

现有长度为n的数组你可以通过若干次操作使某个数组中的所有数相同

操作一选择一个数组，将其复制一份，即新增一个一模一样的数组。

操作二选择数组a 和数组b 交换a_i和b_i

求最少的操作次数

Solution:

贪心：现有数组中出现最多的数为x 我们应将数组全部置为x

每次复制会获得比上一次复制*2的交换机会

模拟复制和交换并累加次数

Code:

void solve()
{
	int n; cin >> n;
	map<int, int> mp;
	int x;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> x, mp[x] ++;
	
	int mx = 0;
	for(auto x : mp)
		mx = max(mx, mp.second);
	
	if(n == 1) {cout << 0 << '\n'; return;}
	if(mx == n) {cout << 0 << '\n'; return;}
	
	int t = n - mx, st = mx, tot = 0, res = 0;
	while(tot < t)
	{
		res ++; //复制
		tot += st, cnt += st;
		st *= 2;
	}
	if(tot > t)	res -= (tot - t); //加多了
	cout << res << '\n';
}

C Tree Infection(贪心 + 模拟)

Description:

给定一棵树每秒做两个操作

先在对于所有感染节点传染一下病毒然后你可以感染任一未被感染的节点

**传染：**如果一个节点的子节点中有儿子被感染了那么他就会传染他的一个兄弟

请输出最短感染整棵树的时间

Solution:

因为传染只能在兄弟之间进行所以呢我们要统计出一共有多少组兄弟每组必须感染一遍

我们就用桶排来存一下 sum[i] 代表父节点i的儿子群数量(兄弟群)

然后排序一下就可以得到有m组答案最少为m

贪心：因为每秒会传染一次所以先感染健康人数最多的组就可以让他们尽可能多地被感染

在感染完一波的时候我们看一下还剩多少人再重排一遍

在传染的基础上为健康人数最多的组感染一个当感染整棵树的时候结束

Code:

void solve()
{
    int n;
    cin >> n;
    ms(sum, 0);
    sum[n + 1] = 1; //感染根节点
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        int x; cin >> x;
        sum[x] ++;
    }
    sort(sum + 1, sum + n + 2, greater<int>());
    
    int m; //一共有多少个树群
    for(m = 1; ; m++)
    {
        if(sum[m] == 0)
        {
            m --;
            break;
        }
    }

    for(int i = 1; i <= m; i++)
        sum[i] = sum[i] - m + i - 1; //先感染大的 贪心 计算传染的人数
    
    sort(sum + 1, sum + m + 1, greater<int>()); //把剩下的重排 大到小
    int mx = sum[1] > 0 ? 1 : 0; //如果连最大的都已经是0 那就结束辣
    int res = m; //最小的可能答案是m
    while(1)
    {
        if(sum[mx] == 0)    break; //已经找不到健康人数最多的点了
        sum[mx] --; //手动感染
        res ++;
        mx = 0; //sum[mx] = 0;
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            if(sum[j] <= 0) break;
            sum[j] --; //传染
            if(sum[mx] < sum[j])    mx = j; //找到当前健康人数最多的点
        }
    }
    cout << res << endl;
}