7.28 7.29集训——动态规划_动态规划集训-优快云博客

状压思想：将第k列的棋子状态与S中第k个二进制位一一对应。
考虑从上到下一行一行放置棋子，容易发现，一个摆放方案对后续的影响仅跟它用了几个棋子和它最后一行的放置状态有关，因此不难设计出这样的 dp：f[i][S]代表放到第 i 行，第 i 行的放置状态为 S 的方案数。
其中 S 是一个 n 位二进制数，第 i 位是 0/1 代表第 i 位放/不放国王。
枚举下一行的状态 T 进行转移。
如何判断一个转移是否合法。
首先 T 自身必须合法,即 T 中的国王不能相邻,用位运算表示即T&(T>>1)=0其次,S到T的转移必须合法,即S&T=0,复杂度 $O(n4^{n})$
事实上，合法的转移远比4𝑛4^n要少
可以预处理出所有合法的状态和转移

洛⾕ P2831 [NOIP2016] 愤怒的⼩鸟

平⾯直⻆坐标系的第⼀象限中有n头猪(n <= 18)，每头猪是⼀个点，每次从原点发射⼀只鸟，飞⾏轨迹是⼀条抛物线 y = ax^2 + bx (a < 0)，在抛物线上的猪可以被消灭。问最少发射多少⻦可以消灭所有点？多组数据，T<=15。

⽤⼆进制数表示猪的消灭情况。三点可以确定⼀条抛物线，已有原点⼀个点，再加上两头猪即可确定抛物线。预处理g[i][j] = ⼀个⼆进制数，表示过原点、猪i、猪j的抛物线能消灭哪些猪。
已求出dp[k]（k为⼆进制数，表示已消灭的猪)，可以枚举i、j进⾏转移： $dp[k|g[i][j]]=min(dp[k|g[i][j],dp[k]+1])$
复杂度 $O(n^{2}\times 2^{n})$
n = 18 时， $n^{2}\times 2^{n}$ = 84934656，再乘上T = 15，冒了！
如何优化掉⼀个n？
其实不⽤枚举i、j，因为消灭猪的先后顺序没有影响，只需取状态k中第⼀头还活着的猪即可。