本文介绍了二叉排序树的概念，强调了其在提高查找、插入和删除操作效率方面的作用。通过C语言实现了二叉排序树的插入、构建和删除操作，并分析了删除节点的三种情况。此外，还提到了在实际操作中遇到的问题，特别是关于指针使用的一点说明。
二叉排序树(C语言简单实现)
本文参考自《大话数据结构》
如果查找的数据集是有序线性表，并且是顺序存储的，查找可以用折半、插值、斐波那契等查找算法来实现，可惜，因为有序，在插入和删除操作上，就需要耗费大量的时间。
二叉排序树（Binary Sort Tree），又称为二叉查找树。它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树。
- 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结构的值；
- 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
- 它的左、右子树也分别为二叉排序树；
构造一棵二叉排序树的目的，其实并不是为了排序，而是为了提高查找和插入删除关键字的速度。不管怎么说，在一个有序数据集上的查找，速度总是要快于无序的数据集的，而二叉排序树这种非线性的结构，也有利于插入和删除的实现。
二叉排序树实现
/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef struct BiTNode{
int data;
struct BiTNode *lchild, *rchild; //左右孩子指针
}BiTNode, *BiTree;
/* 递归查找二叉排序树T中是否存在key */
/* 指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL */
/* 若查找成功，则指针p指向数据元素结点，并返回TRUE */
/* 否则指针p指向查找路径上访问的最后一个结点并返回FALSE */
Status SearchBST(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p){
if(!T){ //查找不成功
*p = f;
return FALSE;
}else if(key == T->data){ //查找成功
*p = T;
return TRUE;
}else if(key < T->data)
return SearchBST(T->lchild, key, T, p); //在左子树继续查找
else
return SearchBST(T->rchild, key, T, p); //在右子树继续查找
}
二叉排序树插入操作
/* 当二叉排序树T中不存在关键字等于key的数据元素时 */
/* 插入key并返回TRUE，否则返回FALSE */
Status InsertBST(BiTree *T, int key){
BiTree p, s;
if(!SearchBST(*T, key, NULL, &p)){ //查找不成功
s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
s->data = key;
s->lchild = s->rchild = NULL;
if(!p) //如果p是空的，p指向的是双亲结点，也就是说双亲是空的，即空树
*T = s; //插入s为新的根结点
else if(key < p->data) //否则，如果关键字小于双亲的值
p->lchild = s; //插入s为左孩子
else //如果关键字大于双亲的值
p->rchild = s; //插入s为右孩子
return TRUE;
}else
return FALSE; //树中已有关键字相同的结点，不再插入
}
构建二叉排序树
int i;
int a[10]={1,2,3,4,5,6,7,8,9};
BiTree T = NULL;
for(i=0;i<10;i++)
InsertBST(&T, a[i]);
删除二叉排序树结点
对删除结点三种情况的分析：
- 叶子结点；
- 仅有左或右子树的结点；
- 左右子树都有的结点；
/* 若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素结点，并返回TRUE，否则返回FALSE */
Status DeleteBST(BiTree *T, int key){
if(!*T) //不存在关键字等于key的数据元素
return FALSE;
else{
if(key == (*T)->data) //找到关键字等于key的数据元素
return Delete(T);
else if(key < (*T)->data)
return DeleteBST(&(*T)->lchild, key);
else
return DeleteBST(&(*T)->rchild, key);
}
}
这段代码和前面的二叉排序树查找几乎完全相同，唯一的区别就在于第8行，此时执行的是Delete方法，对当前结点进行删除操作
/* 从二叉排序树中删除结点p，并重接它的左或右子树 */
Status Delete(BiTree *p){
BiTree q, s;
if((*p)->rchild == NULL){ //右子树空则只需要重接它的左子树
q = *p;
*p = (*p)->lchild;
free(q);
}else if((*p)->lchild == NULL){ //只需要接它的右子树
q = *p;
*p = (*p)->rchild;
free(q);
}else{ //左右子树均不为空
q = *p;
s = (*p)->lchild;
while(s->rchild){ //转左，然后向右到尽头（找待删结点的前缀）
q = s;
s = s->rchild;
}
(*p)->data = s->data; //s指向被删结点的直接前驱
if(q != *p)
q->rchild = s->lchild; //重接q的右子树
else
q->lchild = s->lchild; //重接q的左子树
free(s);
}
return TRUE;
}
示例
#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#include <stdlib.h>
/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef struct BiTNode{
int data;
struct BiTNode *lchild, *rchild; //左右孩子指针
}BiTNode, *BiTree;
//这里的BiTNode和*BiTree都是BiTNode的别名，而BiTree就是指向BiTNode结构体的一个指针
//主函数里的：BiTree T = NULL;和InsertBST(&T, a[i]);
//这里的T本身就是一个指向BiTNode的指针，而传给函数InsertBST一个&T，取T的地址，即：传的是一个双重指针，该指针指向了T，而T指向了NULL（后面会修改这个值）
//为什么这里要传双重指针，因为在InsertBST里会申请新的二叉树结点，如果没有用双重指针，那么修改的将会是InsertBST函数里的T的副本指向的地址，而不是main函数里T指向的地址；但是传了双重指针，(*T = s)这一句修改的是指针指向的地址的值（即修改的是值，而不是修改地址），所以main函数里的T指向的地址的值也会跟着修改。这里理解了很久，重点！！
/* 递归查找二叉排序树T中是否存在key */
/* 指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL */
/* 若查找成功，则指针p指向数据元素结点，并返回TRUE */
/* 否则指针p指向查找路径上访问的最后一个结点并返回FALSE */
bool SearchBST(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p){
if(!T){ //查找不成功
*p = f;
return false;
}else if(key == T->data){ //查找成功
*p = T;
return true;
}else if(key < T->data)
return SearchBST(T->lchild, key, T, p); //在左子树继续查找
else
return SearchBST(T->rchild, key, T, p); //在右子树继续查找
}
/* 当二叉排序树T中不存在关键字等于key的数据元素时 */
/* 插入key并返回true，否则返回false */
bool InsertBST(BiTree *T, int key){
BiTree p, s;
if(!SearchBST(*T, key, NULL, &p)){ //查找不成功
s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
s->data = key;
s->lchild = s->rchild = NULL;
if(!p) //如果p是空的，p指向的是双亲结点，也就是说双亲是空的，即空树
*T = s; //插入s为新的根结点
else if(key < p->data) //否则，如果关键字小于双亲的值
p->lchild = s; //插入s为左孩子
else //如果关键字大于双亲的值
p->rchild = s; //插入s为右孩子
return true;
}else
return false; //树中已有关键字相同的结点，不再插入
}
/* 前序遍历二叉树 */
void printBiTree(BiTNode* T){
if(T){
printf("%d", T->data);
printBiTree(T->lchild);
printBiTree(T->rchild);
}
}
/* 从二叉排序树中删除结点p，并重接它的左或右子树 */
bool Delete(BiTree *p){
BiTree q, s;
if((*p)->rchild == NULL){ //右子树空则只需要重接它的左子树
q = *p;
*p = (*p)->lchild;
free(q);
}else if((*p)->lchild == NULL){ //只需要接它的右子树
q = *p;
*p = (*p)->rchild;
free(q);
}else{ //左右子树均不为空
q = *p;
s = (*p)->lchild;
//转左，然后向右到尽头(找待删结点的前缀)。因为左子树下最右下角的结点值是比父节点小，左子树里最大的数
//个人认为改成右子树下最左的点也行，即比父节点大，但是在右子树里最小的结点，只不过后面重接代码也得跟着改
while(s->rchild){
q = s;
s = s->rchild;
}
(*p)->data = s->data; //s指向被删结点的直接前驱
if(q != *p)
//重接q的右子树，为什么是接q->rchild呢？因为上面遍历到右子树下最后一个不为NULL的结点s，
//然后将值取走了，此时q-rchild就是指向了s，因为s->rchild为空，
//此时只剩s->lchild，为要将s释放掉，所以需要接上s->lchild
q->rchild = s->lchild;
else
q->lchild = s->lchild; //重接q的左子树，因为p和q相等，s的右子树为空，所以只需要接上s左子树
free(s);
}
return true;
}
/* 若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素结点，并返回true，否则返回false */
bool DeleteBST(BiTree *T, int key){
if(!*T) //不存在关键字等于key的数据元素
return false;
else{
if(key == (*T)->data) //找到关键字等于key的数据元素
return Delete(T);
else if(key < (*T)->data)
return DeleteBST(&(*T)->lchild, key);
else
return DeleteBST(&(*T)->rchild, key);
}
}
int main(){
int i;
int a[10]={5,6,1,3,4,7,9,2,8,0};
BiTree T = NULL;
for(i=0;i<10;i++)
InsertBST(&T, a[i]);
printBiTree(T);
printf("\n");
if(DeleteBST(&T, 7))
printf("删除成功！\n");
else
printf("删除失败！\n");
printBiTree(T);
printf("\n");
return 0;
}
示例结果
过程中遇到的问题
如图：
如果不用二重指针，那么最开始main函数的T指针指向了NULL（我们假设是有指向的，指向了内存块1标号1），而调用的时候假如我们传的是T(即BiTNode*)，那么就会像图中这样，有一个调用函数的T指针，也指向了内存块1标号2，此时，如果我们修改了调用函数的T指向的地址，改为指向了内存块2标号3，此时，标号2的指向就断了，变成了标号3，此时不管我们怎么改，我们改的都是内存块2的内容，与内存块1无关，所以我们在调用函数里的T其实是有变化的，但是当返回到main函数的时候，因为内存块1的内容没有变化，所以main函数的T指向的地址的内容还是原来的内容。
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