题目:
输入一个整数 xx,求一个元素数大于 1 的集合 , 使得 lcm(S)=xlcm(S)=x ,输出最小的∑(S)∑(S)。
分析:
用唯一分解定理分解 x=∏paiix=∏piai。则根 LCM 的性质,每一个 paiipiai 必须是 SS 中至少一个元素的因子。
结论:
当 最小时,SS 为 。
证明:
对于两个不同的质因子的幂,令 a=pa11,b=pa22a=p1a1,b=p2a2。如果其同时为一个元素的因子,则和 S1=ab+1S1=ab+1。如果为两个元素的因子,则和为 S2=a+bS2=a+b。所以只需要证明 S1≥S2S1≥S2 即可。
S1−S2=a(b−1)−(b−1)=(a−1)(b−1)S1−S2=a(b−1)−(b−1)=(a−1)(b−1)
由于 a≥1a≥1 , b≥1b≥1,所以 S1−S2≥0S1−S2≥0,即 S1≥S2S1≥S2。
特别注意:
对于本题,要求集合元素个数至少两个,所以如果只有一个质因子,答案为 x+1x+1.
代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N;
inline long long deal(long long x) {
bool isPrime = true;
bool hasTwoOrMoreDivisor = false;
long long acc = 0;
int ed = sqrt(x) + 0.5;
for (int i = 2; i <= ed; i++) {
if (x % i == 0) {
if (isPrime == false) hasTwoOrMoreDivisor = true;
else isPrime = false;
long long tmp = 1;
do { x /= i; tmp *= i; } while (x % i == 0);
acc += tmp;
}
}
if (isPrime) return x + 1;
else if (!hasTwoOrMoreDivisor && x <= 1) return acc + 1;
else if (x > 1) return acc + x;
else return acc;
}
int main() {
int ks = 0;
long long x;
while (~scanf("%lld", &x) && x) {
printf("Case %d: %lld\n", ++ks, deal(x));
}
}