[uva-10791] Minimum Sum LCM

本文探讨了一个数学问题:给定整数x,寻找一个元素数大于1的集合S,使得这些元素的最小公倍数等于x,并输出S的最小元素和。文章分析了如何通过质因数分解解决此问题,并给出了C++实现代码。

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题目:

输入一个整数 xx,求一个元素数大于 1 的集合 S, 使得 lcm(S)=xlcm(S)=x ,输出最小的(S)∑(S)

分析:

用唯一分解定理分解 x=paiix=∏piai。则根 LCM 的性质,每一个 paiipiai 必须是 SS 中至少一个元素的因子。

结论:

(S) 最小时,SS{piai}

证明:

对于两个不同的质因子的幂,令 a=pa11,b=pa22a=p1a1,b=p2a2。如果其同时为一个元素的因子,则和 S1=ab+1S1=ab+1。如果为两个元素的因子,则和为 S2=a+bS2=a+b。所以只需要证明 S1S2S1≥S2 即可。

S1S2=a(b1)(b1)=(a1)(b1)S1−S2=a(b−1)−(b−1)=(a−1)(b−1)

由于 a1a≥1b1b≥1,所以 S1S20S1−S2≥0,即 S1S2S1≥S2

特别注意:

对于本题,要求集合元素个数至少两个,所以如果只有一个质因子,答案为 x+1x+1.

代码:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
int N;

inline long long deal(long long x) {
  bool isPrime = true;
  bool hasTwoOrMoreDivisor = false;
  long long acc = 0;
  int ed = sqrt(x) + 0.5;
  for (int i = 2; i <= ed; i++) {
    if (x % i == 0) {
      if (isPrime == false) hasTwoOrMoreDivisor = true;
      else isPrime = false;
      long long tmp = 1;
      do { x /= i; tmp *= i; } while (x % i == 0);
      acc += tmp;
    }
  }

  if (isPrime) return x + 1;
  else if (!hasTwoOrMoreDivisor && x <= 1) return acc + 1;
  else if (x > 1) return acc + x;
  else return acc;
}

int main() {
  int ks = 0;
  long long x;
  while (~scanf("%lld", &x) && x) {
    printf("Case %d: %lld\n", ++ks, deal(x));
  }
}
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