[uva-10791] Minimum Sum LCM

最新推荐文章于 2020-03-02 19:38:29 发布

Schureed

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本文探讨了一个数学问题：给定整数x，寻找一个元素数大于1的集合S，使得这些元素的最小公倍数等于x，并输出S的最小元素和。文章分析了如何通过质因数分解解决此问题，并给出了C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：

输入一个整数 $x$ ，求一个元素数大于 1 的集合 $S$ ，使得 $\mathrm{lcm}(S) = x$ ，输出最小的 $\sum(S)$ 。

分析：

用唯一分解定理分解 $x = \prod{p_i^{a_i}}$ 。则根 LCM 的性质，每一个 $p_i^{a_i}$ 必须是 $S$ 中至少一个元素的因子。

结论：

当 $\sum(S)$ 最小时， $S$ 为 $\{p_i^{a_i}\}$ 。

证明：

对于两个不同的质因子的幂，令 $a = p_1^{a_1}, b = p_2^{a_2}$ 。如果其同时为一个元素的因子，则和 $S_1 = ab + 1$ 。如果为两个元素的因子，则和为 $S_2 = a + b$ 。所以只需要证明 $S_1 \ge S_2$ 即可。

S 1 - S 2 = a (b - 1) - (b - 1) = (a - 1) (b - 1)

$S_1 - S_2 = a(b-1) - (b-1) = (a-1)(b-1)$
由于

a≥1a≥1 $a \ge 1$ ，

b≥1b≥1 $b \ge 1$ ，所以

S1−S2≥0S1−S2≥0 $S_1 - S_2 \ge 0$ ，即

S1≥S2S1≥S2 $S_1 \ge S_2$ 。

特别注意：

对于本题，要求集合元素个数至少两个，所以如果只有一个质因子，答案为 $x + 1$ .

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
int N;

inline long long deal(long long x) {
  bool isPrime = true;
  bool hasTwoOrMoreDivisor = false;
  long long acc = 0;
  int ed = sqrt(x) + 0.5;
  for (int i = 2; i <= ed; i++) {
    if (x % i == 0) {
      if (isPrime == false) hasTwoOrMoreDivisor = true;
      else isPrime = false;
      long long tmp = 1;
      do { x /= i; tmp *= i; } while (x % i == 0);
      acc += tmp;
    }
  }

  if (isPrime) return x + 1;
  else if (!hasTwoOrMoreDivisor && x <= 1) return acc + 1;
  else if (x > 1) return acc + x;
  else return acc;
}

int main() {
  int ks = 0;
  long long x;
  while (~scanf("%lld", &x) && x) {
    printf("Case %d: %lld\n", ++ks, deal(x));
  }
}