[51nod - 1140] 矩阵相乘结果判定

最新推荐文章于 2021-05-24 05:28:51 发布

Schureed

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本文介绍两种验证两个N×N矩阵相乘是否等于第三个N×N矩阵的方法。方法一通过直接计算矩阵乘法并比较结果，复杂度为Θ(N^3)。方法二采用随机向量验证，将复杂度降至O(CN^2)，其中C为测试次数。

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题目：

给出三个 $N \times N$ 的矩阵 $A, B, C$ ，问 $A \times B$ 是否等于 $C$ ？

分析：

方法1
设 $X = A \times B$ ，可以 $O(N)$ 暴力算 $X_{i,j}$ ，如果发现 $X_{i,j} \ne C_{i,j}$ 则可直接判定不等。最坏复杂度 $\Theta(N^3)$ .

方法2
若 $A \times B = C$ , 则对于任意一个 $N$ 维向量 $V$ , 都有 $V \times A \times B = V \times C$ 。那么我们可以随机生成一个向量 $V$ , $O(N^2)$ 测试是否有 $V \times A \times B = V \times C$ 即可，复杂度降为 $O(N^2)$ ，但是有一定可能存在错判，可以通过多试几次来减少错判的可能性，总复杂度 $O(CN^2)$ ，其中为测试次数。

在精度要求不是很严格的条件下，方法2显然是更优的，对于可以重复提交的算法竞赛中，可以使用这个方法来降低复杂度。

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N_MAX = 501;
int n;
struct Mat {
  int mat[N_MAX][N_MAX];
  int N, M;
  bool operator ==(const Mat& rhs) const {
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
      for (int j = 1; j <= M; j++) {
        if (mat[i][j] != rhs.mat[i][j]) return false;
      }
    }
    return true;
  }

  void init(int n, int m) {
    N = n;
    M = m;
  }
  void read() {
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
      for (int j = 1; j <= N; j++) {
        scanf("%d", mat[i] + j);
      }
    }
  }

  void gen() {
    for (int i = N; i <= M; i++) {
      for (int j = 1; j <= M; j++) {
        mat[i][j] = rand() % 10 + 1;
      }
    }
  }
}arr[4];
Mat mul(const Mat& lhs, const Mat& rhs) {
  assert(lhs.M == rhs.N);
  Mat ret;
  ret.init(lhs.N, rhs.M);
  for (int i = 1; i <= lhs.N; i++) {
    for (int j = 1; j <= rhs.M; j++) {
      ret.mat[i][j] = 0;
      for (int k = 1; k <= lhs.M; k++) {
        ret.mat[i][j] += lhs.mat[i][k] * rhs.mat[k][j];
      }
    }
  }
  return ret;
}
const double lim = 0.7;

inline bool check() {
  return mul(mul(arr[3], arr[0]), arr[1]) == mul(arr[3], arr[2]);
}
int main() {
  srand(time(0));
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 0; i < 3; i++) {
    arr[i].init(n, n);
    arr[i].read();
  }
  arr[3].init(1, n);
  while (double(clock()) / CLOCKS_PER_SEC < lim) {
    arr[3].gen();
    if (!check()) {
      puts("No");
      return 0;
    }
  }
  puts("Yes");
}