万门大学机器学习课程——lesson 4

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分类专栏：人工智能

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本文探讨了数学中关于无穷大及集合势的概念，包括不同数集间的势的比较、希尔伯特旅馆悖论，以及如何证明实数集的势大于自然数集的势。此外，还介绍了几种常见数集的分类。

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标签（空格分隔）：机器学习

4.1

$R$ 的元素个数：对于数字进行无穷大的比较。
全体的 $R$ 是一个很难懂的概念，这里规定：自然数 $N$ ，整数 $Z$ ，有理数 $Q$ ，实数 $R$ ， $\infty$ 。
势：集合元素的个数；
势和势之间的关系：
1、等势： $A,B$ 集合之间的元素可以一一对应；

自然数个数=整数个数
$N$ ： 1 2 3 4 5 6 7 ～～
$R$ ： 0 1 -1 2 -2 3 -3 ～～
这样子的话是没有遗漏的，一一对应的。
无法单纯的用集合的方式定义。

希尔伯特旅馆：全体的正整数都有的旅馆，新来了一个旅客，新来的旅客安排到了第一个房间，然后把之前的移到了后面的房间里。

整数的个数和有理数个数
寻找一一对应：
$\frac{q}{p}$ 与 $R$
在一个二维的表格中进行表示所有的有理数；所有的P和Q放置在 $x,y$ 坐标轴下，我们采用一种遍历方式不断地绕圈进行覆盖全部的网格。
某一个地方开始: $|p|+|q| = K, K\subseteq R$ 最终我们用一个斜正方形的方式进行了遍历，我们采用了这些一一对应的关系得到了一种对应。
这些的实数集是可裂可数的。
自然数的个数少于实数个数
$N \subseteq R$
采用一个反证法：
假设全体的 $N$ 与 $R$ 之间有某一种一一对应。这里的话，实数有整数或者小数部分。
这里的话，我们先将 $R$ 与 $(0,1)$ 之间的实数一一对应。
比如： $tan(x \pi - \frac{\pi}{2}) = y$ 也可以把 $(0,1)$ 与 $R$ 进行一一对应。
接着，我们再把自然数 $N$ 与 $(0,1)$ 上面的实数进行对应。
——上面的表示是有逻辑错误的。
我们需要构建一个不在这个序列中的 $(0,1)$ 的实数 $x$ 。
这里的话，我们通过引入一个中间变量 $0.a_1b_2c_3d_4e_5..$ 这个不包含在这个序列之中，但是无法找到一个一一对应的元素。
这里的话，我们可以把中间变量每一位进行修正：如果某一位 $\neq$ 1，则变为1；否则变为2。这里的话，我们通过反证法证明X不在原序列中。
这里的话我们就可以得到 $R$ 的势大于 $N$ 的势。

4.2

主要数集的分类：
相同 $A_0$ ： $N,Z,Q$ ；比第一级更高的势 $A_1$ ： $R$ ，更高一级的： $A_2$ ：全体定义在实数上的连续函数（单元连续函数）；

4.3

1、无穷大的比较：
几种常见的变成无穷大的形式；
$n \in N$ ：这里的话 $n \rightarrow \infty$ ，这个时候 $\ln{n} \rightarrow \infty, n^{\frac{1}{a_1}},n,n^{a_2},{a_3}^n,n!,n^n$ 这里面是有快慢顺序的。

lim n \to \infty n 3 4 n = 0

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{4^n} = 0$
这里的话我们先来证明：

证明 $lim n \to \infty n a 2 a 3 n = 0$ $\lim_{n \to \infty} \frac{n^{a_2}}{{a_3}^n} = 0$
Sol: $n^a_2$ 是一个幂函数，我们就要证明下面的增长的比幂函数更快。
这里的话我们可以想到二项式展开，这里的话，我们就可以把这种幂指数展开的方法。
这里的话，洛必达法则也是可以的。
Prove:let $h = a_3-1$
$(1+h) = 1+nh+\frac{n(n-1)}{2!}h^2+...$
这里的话，我们只要得到一个大于 $a_2$ 的项，就可以证明成立了。这里的话我们选取 $k = [a_2]+1$ ，在 ${a_3}^n$ 中，有一项是 $\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k)}{(k+1)!} h^{k+1}$
这里的话， $0 \leq n a 2 a 3 n \leq n k n ( n - 1 ) . . . ( n - k ) ( k + 1 ) ! h k + 1 = ( k + 1 ) ! h k + 1 1 n n n - 1 n n - 2 . . . n n - k$ $0 \leq \frac{n^{a_2}}{{a_3}^n} \leq \frac{n^k}{\frac{n(n-1)...(n-k)}{(k+1)!}h^{k+1}} = \frac{(k+1)!}{h^{k+1}} \frac{1}{n} \frac{n}{n-1} \frac{n}{n-2} ...\frac{n}{n-k}$ ，这里的话，第一项是一个纯数，是不变的。整体的话最后是趋向于0的，所以我们可以证得， $lim n \to \infty n a 2 a 3 n \to 0$ $\lim_{n \to \infty} \frac{n^{a_2}}{{a_3}^n} \to 0$
证明： ${a_3}^n \leq n! ,(a_3 >1)$
这里的话，我们选取 $N>[a_3]+1$ ，这里的话就可以有：
$0 \leq a 3 n n ! \leq C$ $0 \leq \frac{{a_3}^n}{n!} \leq C$
这里的话，我们在等式的最右边乘以一个固定的因子 $a 3 n \to 0$ $\frac{a_3}{n} \to 0$ ，这样子的话就可以得到我们之前的那个是满足的。