最大生成树

Heavy Transportation

Time Limit: 3000MS Memory Limit: 30000K

Description

Background
Hugo Heavy is happy. After the breakdown of the Cargolifter project he can now expand business. But he needs a clever man who tells him whether there really is a way from the place his customer has build his giant steel crane to the place where it is needed on which all streets can carry the weight.
Fortunately he already has a plan of the city with all streets and bridges and all the allowed weights.Unfortunately he has no idea how to find the the maximum weight capacity in order to tell his customer how heavy the crane may become. But you surely know.

Problem
You are given the plan of the city, described by the streets (with weight limits) between the crossings, which are numbered from 1 to n. Your task is to find the maximum weight that can be transported from crossing 1 (Hugo's place) to crossing n (the customer's place). You may assume that there is at least one path. All streets can be travelled in both directions.

Input

The first line contains the number of scenarios (city plans). For each city the number n of street crossings (1 <= n <= 1000) and number m of streets are given on the first line. The following m lines contain triples of integers specifying start and end crossing of the street and the maximum allowed weight, which is positive and not larger than 1000000. There will be at most one street between each pair of crossings.

Output

The output for every scenario begins with a line containing "Scenario #i:", where i is the number of the scenario starting at 1. Then print a single line containing the maximum allowed weight that Hugo can transport to the customer. Terminate the output for the scenario with a blank line.

Sample Input

1

3 3

1 2 3

1 3 4

2 3 5

Sample Output

Scenario #1:

4

DFS超时

网络流发现不对,增广的时候,会把最终结果的那条边减去重量。

做法:最大生成树,同时维护扩展得到的最小边

  

<think>嗯,用户问的是最大生成树算法。这个我得先回想一下相关的知识点。首先,生成树是图论里的概念,对吧?生成树是一个连通图的极小连通子图,包含所有顶点,并且尽可能少的边。那最大生成树应该就是边的权重总和最大生成树。 不过用户可能对生成树的基础不太清楚,可能需要先简单解释一下生成树的概念,再转到最大生成树上。然后,最大生成树的算法应该和最小生成树类似,可能只是把排序顺序反过来,比如Kruskal算法和Prim算法的变种。 比如Kruskal算法通常按边的权重从小到大选,那最大生成树的话应该就是从大到小排序。Prim算法也是类似,每次选择权最大的边。需要确认是否正确,比如是否所有步骤都适用,或者有没有例外情况。 可能还需要举例子说明,比如一个图,用这些算法一步步构建最大生成树。但例子可能比较复杂,用户是否需要呢?或者简单说明算法步骤即可。 另外,应用场景也需要提一下。比如网络设计、通信网络中的最大带宽路径,或者资源分配的问题。这些应用能帮助用户理解为什么需要最大生成树。 需要确保回答正确,比如是否所有最小生成树算法都能直接转换为最大生成树,是否存在特殊情况,比如负权边会不会影响。比如Kruskal和Prim在最大生成树的情况下,是否只需反向排序权重,还是需要其他调整。 还要注意术语的正确性,比如是否叫“最大生成树”还是“最大生成树”,可能需要确认术语的标准说法。不过通常最大生成树应该没问题。 总结步骤的话,应该分点说明两种主要算法(Kruskal和Prim)在最大生成树中的应用,并比较它们的异同。同时提到时间复杂度,可能和最小生成树相同,都是O(E log E)或者O(E + V log V)之类的。 另外,是否还有其他算法可以处理最大生成树?比如Boruvka算法是否也能适用,只要改变边的选择方式。可能需要简单提及,但重点放在常用的两种上。 用户可能想知道如何实现,是否需要伪代码?可能不需要,但可以描述步骤。比如Kruskal的步骤:降序排列边,按顺序选不形成环的边,直到选够n-1条边。Prim则是从任意点开始,每次找连接已选和未选顶点的最大权边,加入生成树。 要注意避免错误,例如在Kruskal中,是否真的只需要降序排列,而Union-Find的操作保持不变?是的,因为算法结构是一样的,只是选择边的顺序相反。 有没有什么需要注意的陷阱?比如图中是否存在多个最大生成树,或者是否连通。如果图不连通,那无法生成最大生成树,这点可能需要说明。 最后,应用实例的话,可以举一个简单的图,手动演示算法过程,帮助理解。比如四个节点,边有不同的权重,展示如何选出最大生成树。 总之,回答的结构应该是先介绍概念,然后算法步骤,比较两种算法,应用场景,可能的时间复杂度,以及注意事项。确保用中文表达清晰,符合用户的要求。</think>最大生成树算法是图论中的一个重要概念,用于在带权无向连通图中找出一棵边的权重总和最大生成树。以下是关键知识点和算法解析: --- ### **一、核心概念** 1. **生成树** 连通图的生成树需满足: - 包含所有顶点 - 是连通的 - 边数 = 顶点数 - 1(无环) 2. **最大生成树** 所有生成树中,边权总和最大的那棵树。 --- ### **二、算法原理** 最大生成树算法本质是最小生成树算法的逆向应用,常用方法如下: #### **1. Kruskal 算法(改进版)** - **步骤** 1. 将图中所有边按权重**从大到小**排序 2. 依次选择权重最大的边,若加入后不形成环,则保留该边 3. 重复直到选够 $n-1$ 条边($n$ 为顶点数) - **时间复杂度** $O(E \log E)$(排序占主导,$E$ 为边数) - **关键工具** 使用并查集(Union-Find)高效检测环。 #### **2. Prim 算法(改进版)** - **步骤** 1. 随机选择一个起始顶点 2. 维护一个集合 $S$(已选顶点)和优先队列(按边权**从大到小**排序) 3. 每次选择连接 $S$ 与非 $S$ 顶点的**最大权重边**,将新顶点加入 $S$ 4. 重复直到 $S$ 包含所有顶点 - **时间复杂度** $O(E + V \log V)$(使用斐波那契堆优化,$V$ 为顶点数) --- ### **三、算法对比** | 算法 | 适用场景 | 核心操作 | 是否需要排序 | |------------|-------------------|--------------------|--------------------| | Kruskal | 稀疏图(边少) | 按边权降序选边 | 需要全局排序 | | Prim | 稠密图(边多) | 动态维护顶点集合 | 仅需局部优先队列 | --- ### **四、应用场景** 1. **网络设计** 如通信网络中选择总带宽最大的连接方案。 2. **资源分配** 最大化运输路径的容量或资源传输效率。 3. **图像分割** 在计算机视觉中通过最大生成树划分区域。 --- ### **五、示例演示** 假设图中有顶点 $A,B,C,D$,边权如下: - $AB:5$, $AC:3$, $AD:2$ - $BC:6$, $BD:4$ - $CD:1$ **Kruskal 算法执行过程**: 1. 按边权降序排序:$BC(6) \rightarrow AB(5) \rightarrow BD(4) \rightarrow AC(3) \rightarrow AD(2) \rightarrow CD(1)$ 2. 依次选边: - 选 $BC$(不形成环) - 选 $AB$(不形成环) - 选 $BD$(连接 $B$ 和 $D$,不形成环) - 已选 3 条边(满足 $4-1=3$),停止。 **最大生成树总权重**:$6+5+4=15$。 --- ### **六、注意事项** 1. **连通性**:若图不连通,无法生成最大生成树。 2. **负权边**:算法仍适用,但实际场景中需结合需求分析权值意义。 3. **多解性**:可能存在多个总权重相同的最大生成树。 如需具体代码实现(如Python或Java),可进一步说明算法细节!
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