TSP问题之动态规划解法

本文探讨了使用动态规划解决著名的旅行商问题(TSP)。通过将问题转化为填表,作者展示了一段生成集合所有子集的C语言代码,并承诺在后续详细阐述整个动态规划解决方案。

这几天在想办法求解TSP问题,众所周知,TSP问题是NP难问题,现在我们用动态规划来求解之。

 

其实这个可以转化为一个填表问题。

其中一步是求解集合的所有子集合,整个问题还没完,等我哪天有时间了,把他详细写出来。

把求子集合的代码先贴在这里。

 

#include<stdio.h>
#define N 100

bool b[N];
int n,a[N];

void set_combination(int s){
    int i;
    if(s==n){
        for(i=0;i<n;i++)
            if(b[i])
                printf("%d ",i);
            printf("\n");
            return;
    }
    b[s]=false;
    set_combination(s+1);
    b[s]=true;
    set_combination(s+1);
}

int main(){
    while(scanf("%d",&n))
        set_combination(0);

    return 0;
}

### TSP问题及其动态规划解法 **旅行商问题(Traveling Salesman Problem, TSP)** 是一个经典的组合优化问题,目标是在给定一组城市及各城市之间的距离的情况下,找到一条最短路径,使得从某个起点出发遍历所有城市恰好一次后再回到起点。 #### 动态规划的思想: 对于TSP问题,可以采用状态压缩的方式来进行解。我们将当前访问过的城市集合以及最后到达的城市作为一个“状态”,通过递归地计算每个状态下最小花费的方式来解决问题。具体步骤如下: 1. **定义子问题**: 设 `dp[S][j]` 表示已经访问了集合 S 中的所有点并且最后一个到达的是第 j 个城市时所需的最小代价; 2. **初始化**: 当只有一个起始节点的时候显然不需要额外移动成本,即 dp[{0}][start]=0 (假设 start=0);其他初始值设为无穷大表示未确定的状态。 3. **状态转移方程**: 对于每一个新加入到已知集合S里的元素k来说, - 如果 k != s(开始的位置), 则有 \[dp[S∪{k}][k] = min(dp[S∪{k}][k], dp[S][i]+dist(i,k)), ∀ i∈S\] 4. **结果获取**: 最终的答案就是\[min_{∀i≠s}(dp[V-{s}][i])+dist(s,i)\] 这里 \(V\) 表示全部顶点组成的集合,V-s代表除了起点之外所有的节点构成的集合. 需要注意的是,在实际编程实现过程中,我们通常会用二进制数来表达集合\(S\) ,比如当一共有5个城市时,“10010”就表示只去了编号分别为1和4这两个地方。 以下是基于上述思路的一个简单的 C 实现版本: ```c #include <stdio.h> #include <limits.h> #define N 6 // 城市的数量+1 (因为数组下标从0开始) #define INF INT_MAX / 2 int dist[N][N]; // 距离矩阵 long long memo[(1 << N)]; // 记忆化搜索表 // 返回从源点src经过mask所包含的所有结点再返回到原点的距离之和. int tsp(int mask, int pos); void solve() { memset(memo, -1, sizeof(memo)); int ans = INF; for (int i = 1; i <= N-1 ; ++i) ans = fmin(ans, tsp((1 << i), i)); printf("The minimum cost is %d\n",ans); } // 主函数用于输入测试数据并调用solve解决TSP问题. int main(){ // 初始化图... for(int i = 0;i<N;++i){ for(int j = 0;j<N;++j){ if(j==i || !j||!i)dist[i][j]=0; else scanf("%d",&dist[i][j]); } } solve(); } ``` 请注意这个例子是一个简化版,并不是最优效率的做。完整的解决方案还需要考虑更多细节如边界条件处理等。此外由于该算的时间复杂度较高(\(O(n^2*2^n)\)),所以在n较大时可能会超出时间限制或内存溢出等问题
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